Từ GAUSS đến BOSE–FERMI:

PHÉP GẬP TRONG TOÁN VÀ VẬT LÝ

Phan Thành Nam, Giáo sư Tiến sĩ tại Đại học Ludwig Maximilian, Munich

Nguyễn Xuân Xanh giới thiệu

Mục đích của Vật lý học toán (mathematical physics) không chỉ là tạo điều kiện cho nhà vật lý tính toán số lượng các hằng số nhất định hoặc phép lấy tích phân các phương trình vi phân nhất định. Mà đúng hơn, nó tiết lộ cho anh ta biết sự hài hòa tiềm ẩn của sự vật bằng cách khiến anh ta nhìn chúng theo một cách mới.

— Henri Poincaré, The Value of Science

Giáo sư Phan Thành Nam phát biểu trong chương trình kỷ niệm Ngày Toán học Quốc tế tại Hà Nội ngày 14 tháng 3 năm 2026. Ảnh: VnExpress/Tung Dinh

Lời giới thiệu

Tôi hết sức vui mừng được làm quen với Phan Thành Nam, một nhà vật lý toán tài năng trẻ, hiện là giáo sư toán tại Đại học Ludwig Maximilian (LMU), Munich, một đại học hàng đầu của Đức với nhiều tên tuổi từng là những người khổng lồ sống và làm việc ở đây như Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Arnold Sommerfeld. Sau một số trao đổi email, anh Nam đã cho tôi vinh dự đăng bài Phép gập trong toán và vật lý: Từ Gauss đến Bose-Fermi trên trang rosetta. Phép gập nói chung là folding. Với bài này anh Nam muốn nói về những ý tưởng và phương pháp tôi tạm gọi là “engineering” của một công trình nghiên cứu lớn kéo dài năm năm của anh và các đồng nghiệp về một hiện tượng vật lý mà anh rất tâm đắc. Vâng, xây một tòa nhà phức tạp, cần có ý tưởng, kiến trúc và engineering.

Về anh Nam có nhiều câu chuyện thú vị cần phải kể. Năm 2018, Hội quốc tế về vật lý ứng dụng và lý thuyết (viết tắt IUPAP) đã trao tặng giải thưởng nhà khoa học trẻ trong lĩnh vực vật lý toán cho GS Phan Thành Nam vì đã đạt các kết quả tiên phong với chất lượng khoa học xuất sắc trong vật lý toán.

Năm 2020 anh được trao Giải thưởng của Hội Toán học Châu Âu (EMS). Đây là một hiệp hội rất lớn, có 3000 cá nhân thành viên, khoảng 60 hiệp hội toán học quốc gia ở châu Âu, 40 trung tâm và bộ phận nghiên cứu toán học. Giải thưởng này rất danh giá được trao cho những nhà toán học tài năng. Cứ bốn năm một lần, giải thưởng được xét và trao tặng tại Đại hội Toán học châu Âu cho các nhà toán học dưới 35 tuổi có đóng góp xuất sắc cho toán học. Những quy định giống như quy định của giải Fields. Giáo sư Jan Philip Solovej, nhà toán học Đan Mạch giải Henri Poincaré năm 2021, nghiên cứu về lý thuyết toán học về cơ học lượng tử, là người được bầu làm chủ tịch của hội EMS năm 2023. Ông cũng là người hướng dẫn luận án tiến sĩ của Nam năm 2011. Ông có nhận xét về các công trình của Nam như sau:

Phan Thanh Nam đã có những đóng góp xuất sắc trong lĩnh vực toán học về các hệ nhiều hạt lượng tử, bao gồm nguyên tử, phân tử cũng như khí Bose và khí Fermi. Các kết quả của ông liên quan đến cả trạng thái cân bằng và tính chất động học của các hệ này. Nhiều kết quả nổi tiếng nhất trong lĩnh vực này là do ông thực hiện. Trong số đó có giới hạn tốt nhất về độ ion hóa tối đa của nguyên tử và hằng số được biết đến là tốt nhấn cho đến nay trong bất đẳng thức Lieb-Thirring.

Tính đến năm 2020, anh là tác giả của hơn 40 công trình về toán học.

Phan Thành Nam, sinh năm 1985 tại Tuy Hòa, Phú Yên, theo học ngành Toán học và Khoa học máy tính từ năm 2003 tại Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, nơi anh nhận bằng cử nhân năm 2007. Đại học Khoa học này là mảnh đất đã có truyền thống toán học từ những năm 1960 của thế kỷ trước, với sự dẫn dắt của giáo sư Đặng Đình Áng, người hầu như đào tạo tất cả nhà toán học ở phía Nam. Sau đó Nam học thạc sĩ năm 2008 tại Đại học Orléans, Pháp, dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Alain Phạm Ngọc Đỉnh (con của Bác sĩ Phạm Ngọc Thạch), và tiếp tục học tiến sĩ tại Đại học Copenhagen, Đan Mạch, nơi ông bảo vệ luận án tiến sĩ năm 2011 dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Jan Philip Solovej. Là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ, ông làm việc với Mathieu Lewin tại Đại học Cergy-Pontoise, Pháp, và CNRS Paris cho đến năm 2013 và tại Viện Khoa học và Công nghệ Áo (IST) với Robert Seiringer cho đến năm 2016. Năm 2016, ông trở thành giáo sư trợ lý tại Đại học Masaryk, và năm 2017 chính thức trở thành giáo sư tại Đại học Ludwig Maximilian, Munich. Nhìn chung, Giáo sư Nam là nhà vật lý toán, với các chuyên môn bao gồm cơ học lượng tử nhiều hạt, lý thuyết phổ, phép tính biến phân, phương trình vi phân riêng phần và phân tích số. Lãnh vực nghiên cứu của anh là rất đa dạng.

Anh Nam ngoài ra còn là cây viết tích cực cho đại chúng, đã có bài đăng trên tạp chí Tia Sáng, và cũng về nước diễn thuyết nhiều lần, tại Đại học Khoa học, TP Hồ Chí Minh, cũng như cách đây mấy hôm tại Hội Vật lý Việt Nam, Hà Nội. Anh sẽ còn “giao thoa” với Việt Nam nhiều hơn nữa. Tôi tin anh sẽ là một “nhà trí thức đại chúng” và dấn thân như kiểu trí thức phương Tây. Tôi liên tưởng ngay đến nhà vật lý Áo Ludwig Boltzmann cuối thế kỷ XIX với “Populäre Schriften” (Các bài viết đại chúng) nổi tiếng của ông nhằm phổ biến triết lý khoa học đến đông đảo sinh viên và công chúng. Nó đóng vai trò là cầu nối quan trọng giữa cơ học cổ điển thế kỷ 19 và vật lý, triết học hiện đại thế kỷ 20, cũng như muốn truyền tải triết học tự nhiên cho những người không phải nhà vật lý, xây dựng các “hình ảnh” như mô hình về tự nhiên (Bild). Quyển sách được đón nhận rất nồng nhiệt. Boltzmann là một trong những nhà vật lý có ảnh hưởng lên Einstein về nhiều quan điểm, như quan niệm về nguyên tử, cách nhìn thống kê, triết học tự nhiên. Các ý tưởng trong tác phẩm Populäre Schriften cũng được biết đã ảnh hưởng sâu sắc đến nhà triết học Ludwig Wittgenstein. Vật lý cần đến triết học tự nhiên như ý tưởng định hướng, toán học, và thí nghiệm như công cụ thực hiện. Những yếu tố này đã dẫn dắt các nhà khoa học châu Âu từ Quadrivium của giáo dục khai phóng được phát triển mạnh mẽ ở các đại học trung cổ để cuối cùng đạt tới vật lý hiện đại mà tiêu biểu là Galileo Galilei. Xem thêm Giáo dục khai phóng – Kitô giáo và Di sản văn hóa Hy lạp.

Anh cũng đặc biệt tham gia chương trình mang tên “Học giả hội tụ” đã được Giáo sư Ngô Bảo Châu công bố thành lập ngày 6 tháng 3. Theo chương trình, mỗi giáo sư tham gia sẽ dành từ hai đến ba tháng mỗi năm làm việc với VIASM trong thời gian ba năm ban đầu. Họ cũng sẽ cùng hướng dẫn các nghiên cứu sinh tiến sĩ tại Đại học Khoa học. Chương trình này rất có ý nghĩa, mà một trong những mục tiêu sẽ là đào tạo tiến sĩ trong nước (home-made) một trăm phần trăm. Các sinh viên tài năng giải Olympic có thể tìm thấy ở đây một môi trường học hỏi và phát triển tiếp thuận lợi. Họ là những chú rồng con, giờ sẽ có cơ hội để cất cánh ngay trên chính đất nước mình, hiện thực hóa truyền thuyết thăng long nghìn năm của Việt Nam. Một giai đoạn phát triển mới của ngành toán học, và hy vọng là hình mẩu cho tất cả các ngành khác. Xem thêm trường hợp của Hideki Yukawa–Người lữ hành cô đơn và sự đào tạo home-made của người Nhật ngay từ đầu thời Minh Trị. Họ ý thức sâu sắc thua kém phương Tây vì khoa học và giáo dục tụt hậu, nên đã ra sức học hỏi tối đa, đem văn hóa khoa học gieo trồng tại trên đất nước họ.

Con đường của Phan Thành Nam còn rất rộng và nhiều hào hứng trước mặt. Lãnh vực nghiên cứu của anh rất rộng và anh có độ kết nối cao với các nhà khoa học quốc tế. Ở tuổi đời mới chỉ 41, anh còn một tương lai đầy hứa hẹn. Anh là người khiêm tốn và cởi mở, có một background văn hóa khai sáng, learned culture, tạm gọi như thế. Anh có một facebook trình bày những suy nghĩ của mình về triết lý, văn hóa, khoa học và cả những cái tạm gọi thuộc lãnh vực siêu hình: https://www.facebook.com/ptnam373. Bài viết của anh trên Tia Sáng về đề tài Entropy và Định luật thứ hai của nhiệt động lực học là xuất sắc. Định luật này quan trọng đến nỗi nhà khoa học, học giả C.P. Snow trong tác phẩm “Hai nền văn hóa” (1959) đã lập luận rằng kiến ​​thức về định luật thứ hai của nhiệt động lực học là một thành phần thiết yếu không thể thiếu của năng lực văn hóa (literacy) trong thế giới hiện đại. Ông khẳng định, việc không biết định luật thứ hai này cũng tương đương với việc chưa từng đọc một tác phẩm nào của Shakespeare.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855), một nhà bác học người Đức được coi là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất trong lịch sử. Lãnh vực của ông bao trùm: toán học, lý thuyết số, giải tích, hình học, thống kê và xác suất, thiên văn học, trắc địa học và vật lý . Ông là một thần đồng. Khi ba tuổi, cậu bé Gauss đã một lần kêu lên “Bố ơi, bố tính sai rồi!” khi phát hiện lỗi trong bảng danh sách phát tiền cho các phụ tá trong nhà trẻ. Kiểm tra lại, bố thấy con mình nói đúng. Gauss thường nói vui rằng ông đã học đếm trước khi học nói (như Einstein tập suy nghĩ bằng hình ảnh trước khi học nói). Thật sự ông đã trở thành ông hoàng của toán học, đặc biệt của ngành số học với tác phẩm đặc biệt của ông: Disquisitiones Arithmeticae, một loại sách giáo khoa khảo sát về sô học mang tính cách mạng. Lúc đó ông 24 tuổi (1801). Con số đã trở thành những nốt nhạc của ông, thay vì là nốt nhạc của Amadeus Mozart. Ngoài ra ông cũng tham gia tạo ra không gian phi-Euclid hai chiều, mà học trò ông Bernhard Riemann sau đó đã nâng lên thành nhiều chiều. Năm mươi năm sau, Einstein đã sử dụng loại không gian này cho thuyết tương đối rộng của ông.

Xem thêm Con đường của Einstein thời trai trẻ được viết gần đây.

Xin nhiệt liệt giới thiệu anh chị bài viết của Phan Thành Nam. Những câu chuyện kể của anh diễn ra trong thế giới lượng tử đối với người thường tuy lạ lẫm, nhưng có sức hút mạnh mẽ như những câu chuyện chưởng của Kim Dung, hoặc hơn. “Phép gập số” của cậu bé Gauss giờ được áp dụng một cách sáng tạo thành “phép gập lượng tử” bắt được cây cầu giữa hai thế giới khác biệt boson và fermion để hóa giải những khó khăn. Có lẽ chúng ta cần thêm một quyển sách của anh Nam để hiểu nhiều hơn những cái huyền bí trong thế giới lượng tử.

Tư duy và óc engineering sáng tạo của con người dần dần làm tan chảy những bài toán tưởng chừng không vượt được, có thể mở ra những thế giới hoàn toàn mới. Câu nói cuối bài của anh Nam “Biết đâu, chính những cú gập ngẫu nhiên trong đời lại là điểm khởi đầu cho những hành trình thú vị nhất.” Vâng, chúng ta rất hy vọng như thế, và chúc anh Nam gặt hái thêm nhiều thành công trên cánh đồng mà anh và các bạn vừa gieo hạt.

Nguyễn Xuân Xanh

Từ GAUSS đến BOSE–FERMI:

PHÉP GẬP TRONG TOÁN VÀ VẬT LÝ

Phan Thành Nam

Trong lịch sử toán học, có lẽ chiêu “gập số” của cậu bé Gauss là một trong những tuyệt kỹ nổi tiếng nhất. Câu chuyện kể rằng khi mới 7 tuổi, Gauss bị thầy giáo giao cho một “hình phạt”: cộng 1+2+3+…+100. Tưởng rằng cậu học trò sẽ ngồi cộng mỏi tay, nào ngờ chỉ trong chớp mắt cậu đã đưa ra kết quả 5050. Bí quyết của Gauss không nằm ở tốc độ cộng, mà ở một phát hiện đối xứng: nếu viết dãy số 1,2,…,100 theo thứ tự thẳng hàng trên một tờ giấy rồi gập lại, thì số 1 gặp số 100, số 2 gặp số 99, …, mà mỗi cặp như vậy đều có tổng là 101, cho nên 50*101=5050 chính là tổng toàn bộ. Một phép gập đơn giản đã biến một công việc cơ bắp thành một lời giải thanh thoát.

Điều thú vị là hơn hai thế kỷ sau, tinh thần của Gauss vẫn tỏa sáng trong nhiều nghiên cứu hiện đại. Gần đây, cùng với các đồng nghiệp ở LMU và ISTA (arXiv:2505.22340), chúng tôi nghiên cứu giả thuyết Huang–Yang (1957) về công thức năng lượng cho khí Fermi loãng, trong đó sử dụng một ý tưởng đẹp từ vật lý: phép gập lượng tử. Không phải “gập số” như Gauss, mà là “gập những hạt lượng tử” để kết nối hai thế giới tưởng chừng đối lập: thế giới fermion của Pauli và Fermi nơi nguyên lý loại trừ nghiêm cấm mọi sự chen chúc, và thế giới boson của Bose và Einstein nơi các hạt có thể chồng lấn lên nhau vô tận. Bằng cách ghép đôi các hạt fermion để biến chúng thành boson, phương pháp này cho phép áp dụng những công cụ quen thuộc từ thế giới đối xứng Bose gas để hiểu về thế giới phản đối xứng Fermi gas.

Năm 1924, Bose viết một bài báo về thống kê photon, trong đó ông đưa ra một cách diễn giải hoàn toàn mới cho định luật bức xạ của Planck (1900). Trong công trình được xem là khai sinh ra cơ học lượng tử (Nobel Vật lý 1918), để giải thích phổ bức xạ của vật đen, Planck giả định là năng lượng của dao động tử là lượng tử hoá theo bội số rời rạc E = nhv, trong đó mỗi photon giống như một viên gạch có năng lượng bằng hằng số Planck h nhân với tần số dao động của ánh sáng v, còn n chính là số viên gạch.  Không đặt giả thiết như Planck, Bose đã xuất phát từ nguyên lý đếm vi mô, nhưng thay vì coi photon là các hạt phân biệt (như trong thống kê Maxwell–Boltzmann), ông xem chúng là không phân biệt được. Điều này dẫn tới cách đếm mới, sau này được gọi là thống kê Bose–Einstein, có thể mô tả bằng đối xứng hoán vị trong toán học: nếu đổi chỗ hai boson thì hàm sóng toàn thể không thay đổi.

Bose gửi bài báo của mình tới một tạp chí của Anh (Philosophical Magazine) nhưng bị từ chối, có lẽ vì khi ấy ông chỉ là một giảng viên trẻ ở Ấn Độ thuộc địa. Tuy vậy, ông đã viết thư cho Einstein bằng tiếng Anh, gửi kèm bản thảo bài báo. Đây có thể xem là một hành động dũng cảm vì khi đó Einstein đang là “đại hiệp võ lâm” sau khi công bố thuyết tương đối hẹp (1905), thuyết tương đối rộng (1915) và nhận giải Nobel vật lý 1921 cho công trình giải thích hiệu ứng quang điện. Einstein đã không phớt lờ mà trái lại rất hứng thú: ông tự dịch ra tiếng Đức, gửi đăng giùm Bose trên tờ “Zeitschrift für Physik”, rồi còn viết thêm hai bài báo mở rộng. Trong bài báo thứ hai, viết cách đây đúng 100 năm, Einstein đã tiên đoán một trạng thái mới của vật chất là ngưng tụ Bose–Einstein (BEC), nơi vô số hạt lượng tử rơi vào cùng một trạng thái ở nhiệt độ cực thấp (gần 0 độ K = −273 độ C). Cùng với việc tạo ra BEC trong phòng thí nghiệm năm 1995, dẫn tới giải Nobel Vật lý 2001 cho Cornell, Wieman và Ketterle, việc hiểu rõ BEC và các hiện tượng lượng tử liên quan trở thành “chủ đề nóng trong khí lạnh”: nghiên cứu thứ xảy ra gần độ 0 tuyệt đối nhưng làm sôi động cả giới khoa học.

Hãy thử hình dung trên một sân vận động hàng vạn người, nếu mỗi người chơi một nốt nhạc riêng thì chúng ta chỉ nghe thấy sự hỗn loạn. Nhưng nếu cả sân bỗng đồng loạt ngân cùng một nốt, âm thanh ấy sẽ rất dày và vang xa. Đó chính là hình ảnh của Bose–Einstein condensation: từ hỗn loạn thành hợp xướng khi tất cả cùng đồng lòng hát một bản nhạc chung. Điều này phù hợp với luật số lớn trong xác suất, nói rằng khi số đông đủ lớn thì trung bình sẽ lấn át khác biệt. Từ đây, phương trình Gross–Pitaevskii (một phương trình Schrödinger phi tuyến) ra đời, trở thành nốt nhạc chủ của dàn boson.

Nhưng một bản nhạc đâu thể chỉ có một nốt. Khi có sự tương tác giữa những nghệ sĩ, chắn chắn sẽ có sự lệch pha, và điều thú vị chính là những dao động xung quanh nốt chủ. Năm 1947, Bogoliubov đưa ra một lý thuyết nền tảng cho khí Bose, mô tả phân bố dao động quanh trạng thái ngưng tụ Bose–Einstein như một định lý giới hạn trung tâm trong xác suất. Về mặt toán học, lý thuyết Bogoliubov có thể hiểu như là dạng lượng tử hoá cho phép khai triển Taylor bậc hai của phương trình Gross–Pitaevskii. Về mặt vật lý, lý thuyết Bogoliubov cho thấy phổ dao động (excitation spectrum) của boson là tuyến tính ở vận tốc nhỏ, từ đó giải thích tiêu chuẩn “siêu lỏng” của Landau (Nobel Vật lý 1962), hiện tượng mà các hạt lượng tử có thể chảy như chất lỏng mà không có ma sát, tương tự như một cao thủ có khinh công ở mức “thuỷ thượng phiêu” có thể lướt đi trên nước mà không để lại gợn sóng.

Việc hiểu được ngưng tụ Bose-Einstein và lý thuyết Bogoliubov  dựa trên nguyên lý căn bản của vật lý lượng tử nhiều hạt luôn là một ám ảnh đẹp với tôi từ những ngày làm PhD. Câu hỏi tự nhiên là liệu chúng ta có thể biến trực giác đầy chất nhạc thành một định lý toán học, với các đánh giá sai số tường minh. Đó là một chặng đường dài với rất nhiều bài toán mở, và mỗi bước tiến đều hé lộ thêm chiều sâu vô hạn của thế giới lượng tử.

Nếu boson là dàn đồng ca ngoan ngoãn, thì fermion lại là đoàn quân kỷ luật. Do tuân theo thống kê Fermi–Dirac, chúng buộc phải phản đối xứng: không hai hạt nào được ở cùng một trạng thái. Nhờ vậy, electron mới theo nguyên lý loại trừ Pauli, nguyên tử mới có cấu trúc lớp vỏ, và vật chất mới bền vững. Nhưng đối với toán học, sự phản đối xứng này là một rào cản lớn vì nhiều kỹ thuật đẹp của boson không còn áp dụng được.

Ở tình trạng không có tương tác, khí Fermi lý tưởng ở trạng thái năng lượng thấp nhất tạo thành một Fermi ball trong không gian động lượng: tất cả các hạt lượng tử lấp kín bên trong quả cầu, bên ngoài thì hoàn toàn trống rỗng. Khi có lực tương tác, các hạt lượng tử sẽ dao động một tý để phá vỡ cấu trúc nhị nguyên này, và hiểu rõ việc chúng vượt qua ngăn cách vô hình của mặt cầu Fermi như thế nào là một câu hỏi trọng tâm trong vật lý lý thuyết, liên quan tới bản chất sâu sắc của tương quan lượng tử (quantum correlation).

Trong một bài báo của Huang và Yang viết năm 1957, cùng năm khi Yang (Dương Chấn Ninh) nhận giải Nobel Vật lý, thay vì xử lý trực tiếp các tương tác phức tạp, họ dùng một mẹo do Fermi khởi xướng gọi là “thế giả” (pseudopotential). Đây là một phương pháp rất tinh vi, trong đó thay vì tính tất cả những tương tác phức tạp, ta chỉ cần dự đoán là sau tương tác thì hàm sóng bị “lệch pha” bao nhiêu, và gom tất cả thông tin ấy vào một thế năng giả định. Nhờ kỹ thuật này, họ đã tính được xấp xỉ các mức năng lượng cho khí Fermi theo một cách rất giống với cách tính các mức năng lượng cho khí Bose ở nhiệt độ thấp. Tuy nhiên, chứng minh chặt chẽ dự đoán của Huang và Yang là không tầm thường, vì có vẻ như hai loại hạt boson và fermion rất khác nhau về mặt vật lý và việc bắt một cây cầu toán học giữa hai thế giới này nghe có vẻ khá hão huyền.

Thế nhưng điều bất ngờ là với một phép “gập hạt” thì ta vẫn làm được. Do nguyên lý bảo toàn, hễ một hạt fermion nhảy ra ngoài Fermi ball thì chắc chắn nó sẽ để lại một lỗ trống bên trong. Ý tưởng “gập hạt” là khi ta ghép bất kỳ một “hạt” bên ngoài với một “lỗ” bên trong thì cả cặp ấy cư xử như một boson.  Đó chính là bosonization – nghệ thuật “gập fermion thành boson”. Chữ “bất kỳ” rất quan trọng, vì chúng ta không biết được chính xác “hạt” nào sẽ ghép cặp với “lỗ” nào, nên theo nguyên tắc “cái gì khó quá thì bỏ”, chúng ta buông bỏ việc tìm hiểu chính xác cách ghép từng cặp đơn lẻ, mà xét chúng như một tổng thể. Kỹ thuật “gập bất kỳ” cho phép chúng ta quên cái cụ thể để đạt cái trừu tượng, chính là điểm mạnh nhất của toán học, đồng thời đây cũng là ý tưởng mấu chốt trong phép “xấp xỉ pha ngẫu nhiên” (random phase approximation) được đề xướng bởi Bohm và Pines đầu thập niên 1950.

Về mặt kỹ thuật, việc tạo cầu nối giữa 2 hạt fermion và 1 hạt boson như đề xuất từ vật lý là một phép xấp xỉ không hoàn hảo, có chỗ đúng, có chỗ sai, có chỗ vừa đúng vừa sai, nhưng ý tưởng về một phép kết nối như vậy là đủ mạnh để có thể hoàn chỉnh hoá về mặt toán học. Từ đó, ta có thể mở cánh cửa quay lại với các công cụ quen thuộc của boson, đặc biệt là lý thuyết Bogoliubov, và đưa ra một phiên bản toán học chặt chẽ cho công thức Huang–Yang.

Như vậy, bài toán Huang–Yang có thể được tiếp cận theo tinh thần “chiêu gập” của Gauss: bằng cách gập đúng chỗ, ta có thể biến phản đối xứng thành đối xứng. Hình ảnh này làm tôi nhớ tới thơ Nguyễn Bính:

Nhà nàng ở cạnh nhà tôi

Cách nhau cái giậu mồng tơi xanh rờn

Cái giậu mồng tơi như một bức tường vô hình ngăn đôi tình nhân, nhưng nếu gập hai phía lại, một bên trong một bên ngoài, thì ranh giới biến mất, hai nửa hoá một. Trong vật lý toán cũng vậy: ranh giới vô hình của mặt cầu Fermi ball tưởng như không thể vượt qua, nay nhờ một phép gập, hai hạt fermion xa cách hợp thành một boson dễ chịu.

Từ Gauss “gập số” đến Huang-Yang “gập hạt”, tất cả đều cho thấy đôi khi trong khoa học, chúng ta không cần nhiều binh khí miễn là mỗi thứ đủ tinh. Ở đây chỉ cần một “phép gập” đúng chỗ là đủ để biến một bức tranh phức tạp thành một bản nhạc giản dị sâu lắng.

Và có lẽ trong đời sống cũng vậy. Bài báo năm 1924 Bose từng bị một tạp chí từ chối vì ông vẫn còn vô danh, nhưng cú từ chối ấy hóa ra chỉ là một “phép gập ngẫu nhiên”, đưa ý tưởng của ông tới với Einstein để rồi mở ra một nửa thế giới trong vật lý lượng tử. Biết đâu, chính những cú gập ngẫu nhiên trong đời lại là điểm khởi đầu cho những hành trình thú vị nhất.

Phan Thành Nam