Deng Yu (Đặng Dục): Nhà toán học giải Fields 2026 với tâm hồn nhà thơ

by , under Uncategorized

DENG YU: NHÀ TOÁN HỌC XUẤT SẮC GIẢI FIELDS 2026

“GIỮA SỰ HỖN ĐỘN CỦA CUỘC SỐNG, MỘT NHÀ TOÁN HỌC ĐẦU ÓC TỈ MỈ ĐÃ TÌM THẤY SỰ ỔN ĐỊNH”

Trước khi giành Huy chương Fields nhờ công trình tiên phong về việc dung hòa giữa ngẫu nhiên và trật tự, Yu Deng đã phải tìm được sự cân bằng trong chính cuộc sống của mình.

Tác giả Jordana Cepelewicz – Biên tập viên chuyên mục Toán học, Tạp chí Quanta Magazine, 23 tháng 7 năm 2026

Mai Lý chuyển ngữ

Nguyễn Xuân Xanh xem lại, viết dẫn nhập và lời bạt

Acknowledgement, Lời cảm ơn: Chúng tôi cảm ơn tác giả Jordana Cepelewicz và Quanta Magazine về bài báo rất hữu ích, và tin tưởng, bài báo xuất sắc sẽ truyền cảm hứng mạnh mẽ cho công chúng và cộng đồng trí thức Việt Nam.

Chúng tôi cũng cảm ơn T.M.K. đã giúp thực hiện animated demo là phần chúng tôi mượn từ một bài báo của Đại học Chicago, có ghi rõ nguồn gốc tác tác giả.

 

Dẫn nhập

(I)

Năm 2026, kết quả lừng lẫy nhất đã đưa nhà toán học trẻ Trung Quốc Deng Yu (Đặng Dục) vào danh sách bốn tài năng tuổi dưới 40 được trao giải Fields, là cùng với các cộng sự giải quyết bài toán Boltzmann tồn tại từ hơn trăm năm, cũng là bài toán thứ 6 nằm trong danh sách 23 bài toán nhà toán học Đức David Hilbert đã long trọng công bố tại Hội nghị toán học thế giới được tổ chức tại Paris năm 1900.

Hội nghị toán học thế giới và “Các bài toán Hilbert”

Có lẽ không có đóng góp nào cho một hội nghị quốc tế được ca ngợi nhiều như bài phát biểu của Hilbert tại Hội nghị toán học thế giới (ICM) lần thứ hai, được tổ chức ngày 8 tháng 8, năm 1900 tại Paris. Bài nói chuyện của Hilbert có tiêu đề “Các vấn đề toán học”. Nó bao gồm phần giới thiệu (introduction) đã trở thành kinh điển của nghệ thuật hùng biện toán học, tiếp theo là danh sách 23 bài toán then chốt được thiết kế để làm ví dụ về loại vấn đề mà việc giải quyết chúng sẽ dẫn đến sự phát triển hơn nữa của ngành học.

Ngay trong phần mở đầu bài phát biểu, Hilbert nói:

Ai trong chúng ta mà không muốn vén bức màn che khuất tương lai, để được chiêm ngưỡng những tiến bộ sắp tới của nền khoa học chúng ta, và những bí mật về sự phát triển của nó trong những thế kỷ tới! Những mục tiêu cụ thể nào mà các nhà toán học hàng đầu của các thế hệ tương lai sẽ phấn đấu? Những phương pháp và sự kiện mới nào mà các thế kỷ mới sẽ khám phá ra trong lĩnh vực tư tưởng toán học rộng lớn và phong phú?

 

David Hilbert (23/1, 1862, Königsberg – 14/1, 1943; 81 tuổi, Göttingen), một Euclide thế kỷ XX, nguyên lão trụ trì thánh địa Göttingen.

Quả là một nghệ thuật hùng biện! Thực tế, theo lời khuyên của Hurwitz và Minkowski, Hilbert đã cắt bớt phiên bản nói của bài phát biểu sao cho chỉ còn lại 10 (các bài số 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 và 22) trong số 23 bài toán. Tuy nhiên, phiên bản đầy đủ của bài nói chuyện, cũng như các đoạn trích, đã sớm được dịch và xuất bản ở nhiều quốc gia. Ví dụ, tập san năm 1902 của Bulletin of the American Mathematical Society đã đăng bản dịch toàn chương trình Hilbert được ủy quyền của Mary Winston Newson (1869-1959), một chuyên gia về phương trình vi phân riêng phần, người phụ nữ Mỹ đầu tiên nhận bằng tiến sĩ toán học tại Göttingen.

Bài toán thứ sáu của Hilbert 1900

Nguyên văn bài toán thứ 6 của David Hilbert như sau:

“6. Xử lý toán học các tiên đề của vật lý. Việc nghiên cứu nền tảng của hình học khuyến khích việc xử lý theo phương pháp tiên đề đối với những lĩnh vực vật lý mà toán học đã đóng vai trò nổi bật; đó chủ yếu là lý thuyết xác suất và cơ học.”

Phạm vi của bài toán này là rất rộng và rất khó. Sau đó (1902) Hilbert đã đưa ra thêm những giải thích, cũng như các dạng thức cụ thể có thể có của nó:

Đối với các tiên đề của lý thuyết xác suất, tôi cho rằng việc nghiên cứu chúng về mặt logic cần được song hành với sự phát triển chặt chẽ và thỏa đáng về phương pháp giá trị trung bình trong vật lý toán học, đặc biệt là trong lý thuyết động học chất khí. … Công trình của Boltzmann về các nguyên lý cơ học gợi mở vấn đề phát triển về mặt toán học các quá trình giới hạn — vốn mới chỉ được đề cập sơ lược trong công trình đó —nhằm chuyển từ quan điểm nguyên tử (cấp vi mô) sang các định luật chuyển động của môi trường liên tục (cấp vĩ mô).

Cụ thể, có một hệ phương trình để mô tả chuyển động của từng phân tử riêng lẻ trong chất khí, và một hệ khác để mô tả hành vi của khối khí liên tục xét trên tổng thể. Hilbert đã đặt câu hỏi: liệu có thể chứng minh rằng hệ phương trình này kéo theo hệ phương trình kia hay không — nghĩa là liệu chúng có thực sự chỉ là những cách khác nhau để mô hình hóa cùng một thực tại, như các nhà vật lý vẫn giả định, nhưng chưa từng chứng minh một cách chặt chẽ?

Riêng thuyết xác suất đã được nhà toán học Nga Kolmogorov giải quyết năm 1933 sau đó. Phương trình Boltzmann là đề tài kháng cự mọi nổ lực giải quyết.

Ludwig Boltzmann (20/2, 1844, Vienna, Áo – 5/9, 1906; 62 tuổi, Duino, Ý)

(II)

Oscar Lanford 1975

Năm 1975, nhà vật lý toán rất ảnh hưởng người Mỹ Oscar Lanford (1940–2013) đã công bố một công trình mang tính bước ngoặt, là thiết lập được phương trình Boltzmann từ một mô hình vi mô về chất khí loãng gồm các hạt hình cầu cứng đồng nhất, chịu sự chi phối của cơ học Newton cổ điển trong các va chạm đàn hồi. Công trình này đã thiết lập được cầu nối giữa động lực học hạt ở cấp độ vi mô và thuyết động học ở cấp vĩ mô. Tuy nhiên định lý ông chỉ đúng cho một phần rất nhỏ thời gian của giây.

Deng Yu và các đồng sự bứt phá 2023 và 2024

Vào năm 2024, Yu Deng, Zaher Hani và Xiao Ma đã phát triển một mở rộng quan trọng đối với định lý Lanford (1975) khi chứng minh rằng phương trình Boltzmann có thể được suy ra (derived, dẫn giải) một cách chặt chẽ từ cơ học Newton áp dụng cho hệ khí loãng gồm các hạt cầu cứng trong những khoảng thời gian gần như không giới hạn. Công trình này giải quyết một khía cạnh then chốt của bài toán thứ sáu của Hilbert bằng cách liên kết chặt chẽ động lực học Newton ở cấp độ hạt với mô tả động học ở cấp độ vĩ mô. Đây được gọi là Định lý 2 ( Deng-Hani-Ma 2024; arXiv: 2408.07818)

Ý tưởng cốt lõi nằm ở việc sử dụng các kỹ thuật từ lĩnh vực nghiên cứu tương tác sóng để tạo ra một “thuật toán cắt” (cutting algorithm), một phương pháp tổ hợp tinh vi do nhà toán học Yu Deng cùng các cộng sự Zaher Hani và Xiao Ma phát triển, “một thuật toán phức tạp và tinh vi, vốn là một điểm mới quan trọng của công trình này” như các tác giả nói, giúp kiểm soát độ phức tạp của các kịch bản va chạm có thể xảy ra giữa các hạt. Thuật toán này sau đó được dùng để chứng minh rằng các va chạm phức tạp và lặp đi lặp lại (recollision) là những sự kiện cực kỳ hiếm gặp.

Nhưng để chứng minh Định lý 2, Deng và Hani chứng minh một định lý tương tự trong khuôn khổ lượng tử. Với sự tiến bộ của cơ học lượng tử trong thế kỷ XX, đặc biệt tính lưỡng tính sóng-hạt, các nhà vật lý nhanh chóng phát triển thuyết thống kê song song cho sóng, nghĩa là thuyết động học sóng (wave kinetic theory), hay nhiễu loạn sóng (wave turbulence). Tất nhiên, cùng vấn đề tương ứng với Bài toán Thứ Sáu của Hilbert cũng được đặt ra trong khuôn khổ lượng tử và sóng. Và ở đây Deng và Hani đã đạt được kết qua “tiền Boltzmann”: sự dẫn giải cho phương trình động học sóng xuất phát từ phương trình Schrödinger cấp ba cho dài hạn. (Định lý 1, Deng-Hani, 2023; arXiv: 2408.07818)

Một điều hết sức ngạc nhiên là, trong khi các quy luật ở cấp vi mô có tính khả nghịch (reversible), thì các quy luật ở cấp độ vĩ mô nảy sinh từ đó lại bất khả nghịch (irreversible), nơi thời gian mang tính định hướng mũi tên. Điều này làm cho tôi nhớ lại một câu nỏi của Isaac Newton:

Trong khi đó, nhiệm vụ chính của triết học tự nhiên là lập luận dựa trên các hiện tượng mà không đặt ra những giả thuyết hư cấu, đồng thời suy luận nguyên nhân từ hệ quả cho đến khi chạm tới Nguyên cớ đầu tiên — vốn dĩ chắc chắn không mang tính cơ học; và không chỉ nhằm làm sáng tỏ cơ chế vận hành của thế giới, mà quan trọng hơn cả là giải đáp những câu hỏi thuộc loại này. (Opticks, Book 4, Part I)

Người ta suy luận nguyên nhân từ hệ quả bằng cơ học, nhưng đến Nguyên cớ cuối cùng, thì tính chất cơ học mất đi. Chẳng phải hệ thống hạt của chất lỏng hoạt động theo nguyên tắc cơ học, nhưng rồi ở giới hạn, ta lại có một tính chất không còn giống nó nữa hay sao? Câu chuyện nhỏ này có phản ảnh cơ chế vận hành của thế giới hay không? Với nguyên cớ đầu tiên (First Cause) ở đây Newton muốn ám chỉ bàn tay của Chúa.

(III)

Bài báo trên Quanta Magazine dưới đây nói đủ những đặc tính của Deng Yu, hành trình của anh từ nhỏ, đam mê và tính cách của anh. Deng là người trầm tĩnh, nhạy cảm và thích suy tư. Anh sinh ra vốn đầy năng lượng hành động, muốn thực hiện một mục tiêu gì đó với năng lượng cồn cào đó, hoặc trở thành kiện tướng cờ vây, hoặc một nhà toán học có khám phá. Năm 2006 Deng giành được huy chương vàng Kỳ thi Olympic Toán Quốc tế (IMO).

Anh rời Đại học Bắc Kinh sớm để đến Viện công nghệ M.I.T., một hành trình sẽ mang anh tới những bậc thang cao trong toán học. Tại đây, anh đã đạt danh hiệu Putnam Fellow với thành tích xuất sắc nhất trong Kỳ thi Toán William Lowell Putnam năm 2010. Anh nhận bằng Tiến sĩ từ Đại học Princeton vào năm 2015. Sau khi làm việc tại Viện Khoa học Toán học Courant thuộc Đại học New York và Đại học Nam California (USC), anh đã gia nhập Đại học Chicago, nơi GS. Ngô Bảo Châu làm giáo sư.

Tuy nhiên, Deng cũng một lần hoang mang về năng lực cùa mình, như Wang Hong từng nếm trải. Đó là năm 2017, khi thời gian nghiên cứu sau tiến sĩ tại Đại học New York sắp kết thúc, anh vẫn chưa nhận được lời mời nào cho vị trí giảng viên có triển vọng trở thành giáo sư trong biên chế. Deng cân nhắc việc trở về Trung Quốc hoặc nhận một công việc trong lĩnh vực tài chính. Anh sống rút lui, đi dạo và làm thơ. Anh rất yêu thơ, nhất là bài thơ Cẩm sắt của nhà thơ Lý Thương Ẩn thời Đường, vừa thi vị vừa huyền bí, đa nghĩa. Anh đơn giản muốn có cơ hội để làm toán, “Đến trường, về nhà, rồi đến trường, rồi lại về nhà”, đơn giản như thế. Nhưng giờ đây anh cảm thấy bất an và cô đơn về tương lai đó. Lúc trở về với anh trong cảnh vật hoang vắng, anh tìm lại chính mình, và tự tin lại. Rồi anh tìm được con đường đi lên năm sau.

Deng sống tối giản, như một người khắc kỷ. Căn phòng anh trống trơn, không có một chiếc TV. Lý tưởng của anh nằm ở những giá trị tinh thần, và anh mong muốn góp phần tạo ra trong lãnh vực toán học. Văn minh tiêu thụ không vượt qua được hàng rào lý tưởng vững chắc của anh, để giữ cho đầu óc anh trống khoáng dành cho toán học và những giá trị khác. Có lẽ vì thế anh có sức tập trung phi thường. Bộ nhớ của anh có thể chứa cả tác phẩm của anh và các đồng sự dài 200 trang. Thay vì để cho cuộc sống thế tục xé nhỏ tâm trí, anh dùng tâm trí để xé nhỏ những bài toán thật khó thành những khâu nhỏ dễ xử lý hơn. Người ta nhớ lại một trong những phương châm của René Descartes trong tác phẩm Discourse on Method: “Chia mỗi khó khăn đang xem xét thành càng nhiều phần càng tốt.” (Descartes)

Chúng tôi hy vọng tấm gương của Deng Yu đem lại nhiều điều đáng suy ngẫm, cho những người yêu toán, yêu khoa học, có hoài bảo khám phá, cho các bậc phụ huynh, và cả những nhà giáo dục.

Mời anh chị xem thêm bài trước về Wang Hong:  Wang Hong (Vương Hồng): Nữ tu sĩ của đền thờ toán học 

 

Nguyễn Xuân Xanh

⭐⭐⭐

Quanta Magazine:

“GIỮA SỰ HỖN ĐỘN CỦA CUỘC SỐNG, MỘT NHÀ TOÁN HỌC ĐẦU ÓC TỈ MỈ ĐÃ TÌM THẤY SỰ ỔN ĐỊNH”

Jordana Cepelewicz

Đó là một bầu không khí có vẻ cô liêu … Tôi thích khung cảnh này. Một mình, lắng nghe những âm thanh ấy, ngắm nhìn bầu trời, thấy bầu trời soi bóng xuống dòng sông… Mọi thứ đều diễn ra trong sự tĩnh lặng của riêng mình. Bạn đứng đó và suy ngẫm … Những vì sao thật xa xôi, ngay cả những suy nghĩ của bạn cũng trở nên xa xưa khi ta chiêm nghiệm về những biến cố lịch sử từ quá khứ; bạn hoàn toàn, tuyệt đối đơn độc, trong khi thế giới tĩnh lặng bao quanh. Đó thực sự là một cảm giác tuyệt vời.

— Deng Yu

 

Yu Deng đã phải đối mặt với những làn sóng bất định và hoài nghi trước khi bắt tay vào công trình đã mang về cho anh Huy chương Fields. (Kristen Normand, viết cho Tạp chí Quanta)

Tự do và tiết chế dường như là những lực đối lập, nhưng với Yu Deng, chúng lại song hành cùng nhau.

Hãy nhìn vào bài thơ mà anh vừa mở trên màn hình máy tính: một rừng dày đặc những chữ Hán được sắp đặt thành tám câu có độ dài bằng nhau — một khối văn bản cân xứng và hoàn hảo. Được sáng tác vào thế kỷ IX bởi nhà thơ đời Đường Lý Thương Ẩn, trong bối cảnh Trung Hoa thời nhà Đường đang chao đảo bên bờ nội chiến, “Cẩm Sắt (Khảm Gấm)” nổi tiếng bởi tính đa nghĩa và mơ hồ của nó. “Nhiều người đã cố gắng lý giải bài thơ này,” Deng nói. “Nhưng theo tôi, đây là điều không thể lý giải tường tận được.” Chỉ một từ cũng có thể gợi nhắc đến một trận chiến thời xa xưa hoặc một câu chuyện cổ tích kinh điển; một cụm từ tưởng như đơn giản lại có thể mở ra hàng chục cách diễn giải khác nhau.

“Đó là bài thơ tôi yêu thích nhất từ trước đến nay,” Deng cho biết — một ví dụ về một thể thơ Trung Hoa có kết cấu rất chặt chẽ, mà tên gọi theo nghĩa đen có thể dịch là “thơ theo luật”. Thể thơ này phải tuân thủ đủ mọi quy tắc: từ phép đối và sự tương phản trong hình ảnh, đến các mô thức thanh điệu nhịp nhàng và luật gieo vần nghiêm ngặt. “Chính những khuôn mẫu ấy làm nên vẻ đẹp của nó,” Deng chia sẻ. “Nhưng đồng thời, chúng cũng giới hạn khả năng biểu đạt của bạn. Việc bạn vẫn có thể nói lên biết bao điều trong những ràng buộc ấy lại là một tầng cao khác của cái diệu mỹ.”

Deng, một nhà toán học tại Đại học Chicago, khám phá những điều phong phú có thể diễn đạt được dưới một dạng thức toán học tương tự như thể thơ theo luật nghiêm ngặt. Anh nghiên cứu các phương trình mô tả cách những hệ thống phức tạp gồm những sóng và hạt tương tác với nhau. Cũng như một thi nhân đời Đường có thể gửi gắm nhiều tầng ý nghĩa chỉ trong dăm ba cặp câu đối ngẫu, “bạn sẽ tóm lược, sẽ nén toàn bộ hệ thống đồ sộ ấy vào trong một phương trình duy nhất,” anh nói. Các nghiệm của những phương trình này mang một “cấu trúc tự nhiên vô cùng phong phú”, đầy những đối xứng ẩn giấu và “biết bao sự trùng hợp kỳ diệu, biết bao cách diễn giải khác nhau.”

Deng, người vừa bước sang tuổi 37 vào tháng Sáu, đã được trao Huy chương Fields, vinh dự cao quý nhất của ngành toán học, nhờ đưa việc nghiên cứu những phương trình này — cùng các hệ thống vật lý mà chúng mô phỏng — vượt xa những giới hạn người ta từng nghĩ có thể đạt tới. Anh và các cộng sự đã chứng minh những định lý quan trọng, một số được trình bày trong những bài báo dài hơn 100 trang, về cách tính ngẫu nhiên lan truyền trong các hệ thống, cũng như cách các hành vi ở quy-mô-lớn dần hình thành từ những tương tác ấy theo thời gian.

“Mọi người từng nghĩ rằng chuyện này — tôi cũng không rõ nữa — phải đến cả thập kỷ nữa mới xảy ra,” Benoît Pausader, một nhà toán học tại Đại học Brown và là một trong những cộng sự của Deng, cho biết.

Về cốt lõi, công trình này nhằm đưa tính linh hoạt của xác suất vào thế giới đầy khuôn khổ và cấu trúc chặt chẽ của các phương trình sóng. Sự tự do và tính ràng buộc. Song hành cùng nhau.

Kỳ thủ chuyên nghiệp

Ở một vũ trụ song song, Deng đã không trở thành nhà toán học mà là một kỳ thủ cờ vây chuyên nghiệp. Chỉ một quyết định trong gang tấc đã đưa anh đến con đường hiện nay.

Không lâu sau khi Deng chào đời vào năm 1989, gia đình anh chuyển đến Thâm Quyến, Trung Quốc, vào đúng thời điểm thành phố này — vốn chỉ mười năm trước còn là một cụm làng chài — đang phát triển với tốc độ chóng mặt. (Ngày nay, đây là đô thị lớn thứ ba của Trung Quốc, với hơn 18 triệu dân và là một trong những trung tâm công nghệ lớn nhất thế giới.) Khi Deng còn nhỏ, Khu Công nghiệp Shekou ở Thâm Quyến, nơi anh lớn lên, “là một vùng thực sự rất kém phát triển”, nơi “bạn có thể thấy rác thải tràn ngập trên đường phố. Mùi hôi thối nồng nặc khắp nơi.” Nhưng chỉ vài năm sau, anh kể, khu vực ấy đã có những con đường sạch sẽ, hệ thống tàu điện ngầm, công viên và các khu căn hộ cao cấp. Các pa-nô và áp phích khẳng định khẩu hiệu nổi bật của thành phố: THỜI GIAN LÀ TIỀN BẠC! HIỆU QUẢ LÀ SỰ SỐNG!

Con đường đưa Deng đến với toán học đã đi qua thế giới của cờ vây như một môn thể thao đấu trí. (Kristen Normand cho Quanta Magazine)

Deng là một đứa trẻ trầm tính, và hay suy tư. Cậu thích dành hàng giờ một mình để đọc bất cứ tài liệu nào có thể tìm được. Mẹ cậu, một bác sĩ chuyên khoa tiêu hóa, kể rằng: vào khoảng năm hay sáu tuổi, cậu đã đọc cả một số sách giáo trình y khoa của bà và thường xuyên đặt câu hỏi về giải phẫu học cũng như cấu trúc cơ thể. “Vì cậu bé còn quá nhỏ nên tất cả đồng nghiệp của tôi đều thấy chuyện đó thật thú vị,” bà nói bằng tiếng Quan Thoại.

Chẳng bao lâu sau, cậu đã “về cơ bản đọc hết tất cả sách trong phòng đọc của chúng tôi,” bà nhớ lại. Để con ra ngoài nhiều hơn, bà và chồng bà — một kỹ sư phần mềm — thường đưa con đi bộ đường dài hoặc dạo bộ trên bãi biển, với lời hứa rằng cậu sẽ được đọc sách hoặc ghé hiệu sách ngay khi họ kết thúc buổi buổi đi dạo. Nếu cậu nghịch ngợm, “hình phạt hiệu quả nhất là cấm cậu đọc sách,” mẹ cậu nói.

Trong một số chuyến đi bộ đường dài ấy, cha cậu thường ra các bài toán để cậu giải. Đến giờ Deng vẫn còn nhớ một bài như thế này: Cho một lưới ô vuông được chia thành một số ô nhất định. Hãy chứng minh rằng: nếu ta loại bất kỳ ô nào khỏi lưới — bất kể là ô nào — thì ta luôn có thể chia phần còn lại của lưới thành các mảnh hình chữ L, mỗi mảnh gồm ba ô. Lời giải mà Deng tìm ra đòi hỏi sử dụng một khái niệm gọi là quy nạp toán học, vốn thường chỉ được dạy ở bậc trung học phổ thông. Khi đó, Deng chỉ mới 7 tuổi.

Cha mẹ Deng bắt đầu lo ngại rằng việc đọc sách liên tục sẽ làm hỏng thị lực của cậu, nên họ mua cho cậu một bộ cờ vây. Cậu lập tức say mê trò chơi này. Chẳng bao lâu sau, cậu đã dành hầu hết thời gian rảnh rỗi để khám phá ra những thế giới mà mình có thể tạo ra từ các quân cờ đen trắng — giải các thế cờ, tìm kiếm những chiến lược tối ưu và đắm chìm trong suy tư suốt hàng giờ liền.

“Chơi cờ vây là một việc cho phép bạn tập trung vào một việc duy nhất trong một khoảng thời gian, thường là hai hoặc ba giờ,” Deng nói. “Tôi rất thích điều đó.”

Cậu tiến bộ rất nhanh, chơi tại một câu lạc bộ cờ vây địa phương và tham gia các giải đấu cấp quận rồi cấp thành phố. “Thằng bé không chịu chấp nhận thất bại,” mẹ cậu kể. “Khi chơi cờ với bạn bè mà thua, nó cứ nhất quyết đòi chơi lại lấn này đến lần khác cho đến khi thắng mới thôi.”

Năm 2001, khi còn học trung học cơ sở, Deng tham dự giải đấu tuyển chọn kỳ thủ chuyên nghiệp toàn quốc — một cuộc thi vô cùng cam go để bước chân vào thế giới cờ vây chuyên nghiệp. Đến ba ván cuối cùng của giải, cậu chỉ cần thắng thêm một ván nữa là đủ điều kiện. Nhưng cậu đã thua cả ba ván. Năm sau, cậu thử sức thêm một lần nữa, nhưng trái tim cậu không còn dành cho cờ vây nữa.

“Mọi người từng nghĩ chuyện này—tôi cũng chẳng biết nữa—phải đến cả thập kỷ nữa mới xảy ra.”

— Benoît Pausader

Ngay từ những chuyến đi bộ đường dài cùng gia đình thuở ấy, Deng đã nuôi dưỡng niềm đam mê với toán học vì những lý do tương tự như khi cậu bị cuốn hút bởi môn cờ vây: cậu có thể dành hàng giờ liền một mình để nghiền ngẫm một bài toán duy nhất, tìm kiếm các ý tưởng và nỗ lực khám phá con đường độc đáo dẫn đến đáp án đúng. Và cậu thực sự có năng khiếu trong lĩnh vực này. Nhưng, Deng chia sẻ rằng: khi đó, “mọi chuyện vẫn chưa phải là điều gì nghiêm túc.”

Tuy nhiên, sau thất bại tại giải đấu cờ vây ấy, cách đánh giá của Deng gần như hoàn toàn tỉnh táo: “Bấy giờ chỉ có một lựa chọn,” anh nói. “Hoặc cờ vây, hoặc toán học. Vì tôi đã thua, nên tôi quyết định chuyển trọng tâm sang toán học.”

Anh đặt ra một mục tiêu: tham dự Kỳ thi Olympic Toán học Quốc tế (IMO), cuộc thi toán danh giá nhất thế giới dành cho học sinh phổ thông. Giáo viên toán của anh khi đó cũng là một trong những huấn luyện viên Olympic toán hàng đầu của Trung Quốc, và hai thầy trò bắt đầu cùng nhau luyện tập vào các buổi tối và cuối tuần. Vào năm cuối cấp trung học cơ sở (tương đương lớp 9), anh đã học xong toàn bộ chương trình toán trung học phổ thông, nhưng vẫn không vượt qua được vòng tuyển chọn đầu tiên để tham dự IMO.

“Lúc đó tôi cảm thấy rất tệ,” Deng nói. Vì vậy, anh càng nỗ lực hơn. Năm sau, anh vượt qua ba vòng tuyển chọn và giành được một suất trong đội tuyển tập huấn quốc gia. Nhưng anh không nằm trong số sáu học sinh cuối cùng được chọn để đại diện cho Trung Quốc.

Sự tập trung và lòng quyết tâm của anh chưa bao giờ suy giảm. “Tôi thực sự muốn chiến thắng,” Deng nói. Năm tiếp theo, anh không chỉ lọt vào đội tuyển mà còn giành được huy chương vàng.

Deng trong văn phòng của anh tại Đại học Chicago, nơi anh là giáo sư từ năm 2025. (Kristen Normand cho Quanta Magazine)

Thành tích đó giúp anh được tuyển thẳng vào Đại học Bắc Kinh, một trong những trường đại học hàng đầu của Trung Quốc. Ban đầu, “tôi thậm chí còn chưa nghĩ đến việc chọn toán học làm sự nghiệp,” anh nói. “Dần dần tôi mới nhận ra rằng đây là lĩnh vực phù hợp với mình.”

Trải nghiệm tại kỳ thi Olympic “khiến tôi nghĩ rằng, có lẽ đây là lĩnh vực mà tôi thực sự có năng khiếu.” Vì thế, anh tự nhủ: “Vậy tại sao tôi không cứ theo đuổi nó?”

Những góc nhìn mới

 Sau hai năm học chuyên ngành toán tại Đại học Bắc Kinh, anh chuyển đến Viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Việc sinh viên toán Trung Quốc ra nước ngoài học sau đại học là điều khá phổ biến, nhưng đối với sinh viên đại học đó lại là chuyện hiếm. “Rồi thế nào bạn cũng sẽ ra nước ngoài thôi,” Deng nói — vậy thì tại sao phải chờ?

Ngay trong năm đầu tiên ấy, anh tham dự một buổi thuyết trình giúp định hướng cho con đường sự nghiệp của anh. Andrea Nahmod — một nhà toán học từ Đại học Massachusetts Amherst (người sau này trở thành một trong những cộng sự thân cận nhất của Deng) — trình bày nghiên cứu về cái gọi là bài toán dữ liệu ngẫu nhiên. Deng bị cuốn hút ngay lập tức.

Bài toán dữ liệu ngẫu nhiên đặt ra câu hỏi về nghiệm của một số dạng phương trình đạo hàm riêng, hay PDE (partial differential equations), những phương trình mô tả sự thay đổi theo thời gian của cách các dạng sóng phức tạp — từ sóng nước ngoài đại dương đến sóng ánh sáng trong các cáp quang.

Cụ thể, Nahmod muốn chứng minh rằng, bất kể hình dạng ban đầu của các con sóng ra sao, PDE vẫn có thể mô hình hóa chính xác điều gì sẽ xảy ra với chúng tại bất kỳ thời điểm nào trong tương lai. Có thể xảy ra Những trường hợp phương trình bị thất bại trong việc mô tả hành vi tiếp theo của một con sóng, nhưng những trường hợp như vậy là cực kỳ hiếm. Nếu bắt đầu với một dạng sóng ngẫu nhiên nào đó, PDE sẽ  có một nghiệm mô tả được hành vi của sóng đó ở những thời điểm về sau.

Vấn đề là đối với phần lớn PDE, việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm này là vô cùng khó khăn.

“Anh ấy đã xuất sắc ngay từ đầu … rất giỏi trong việc nắm bắt bản chất cốt lõi của vấn đề.”

— Alexandru Ionescu

“Tôi thấy ý tưởng này rất thú vị,” Deng nói. Bởi vì câu hỏi này liên quan đến một điểm khởi đầu ngẫu nhiên, nó đưa lý thuyết xác suất — được dùng để xác định điểm khởi đầu ấy và chứng minh những mệnh đề về những điều xảy ra sau đó — vào thế giới tất định của các PDE. “Bạn đang nhìn phương trình của mình từ một góc nhìn hoàn toàn khác.”

Sau buổi thuyết trình, Deng đề nghị Gigliola Staffilani, một nhà toán học nữ tại MIT, người khi ấy đóng vai trò như một cố vấn không chính thức của anh, giao cho anh một bài toán liên quan để nghiên cứu trong kỳ nghỉ  hè. Bà đã tìm được cho anh một bài toán về hành vi của nghiệm cho một phiên bản hai chiều của phương trình Schrödinger phi tuyến, một PDE nổi tiếng mô tả cách các sóng chuyển động và tương tác với nhau.

Khi Deng trở lại vào mùa thu, anh đã có một bài báo khoa học hoàn chỉnh. Staffilani kinh ngạc trước mức độ uyên thâm của nó. “Tôi hiểu ngay: ‘Ôi Chúa ơi, cậu nhóc này thật sự xuất chúng,’” bà nói. “Tôi chưa từng thấy một công trình nào như vậy, kể cả từ các học viên sau đại học của mình — ít nhất là chưa từng thấy một công trình nào được trau chuốt mức ấy. Nó đã hoàn chỉnh rồi.”

Bài báo ấy được công bố trên tạp chí Analysis & Partial Differential Equations. “Tôi rất phấn khích về điều đó,” Deng nói. “Và tôi nghĩ ngay rằng, một ngày nào đó mình có thể công bố trên một tạp chí còn tốt hơn nữa, một tạp chí hàng đầu.”

Anh từng nghe nói về một sinh viên cùng trang lứa tên là John Pardon — một người khác cũng nhận Huy chương Fields năm nay — khi còn là sinh viên đại học đã công bố một bài báo trên Annals of Mathematics, tạp chí hàng đầu của ngành toán học. Anh có ghen tị không? “Có một chút,” Deng cười đáp.

Deng thường có được những ý tưởng hay nhất khi ở một mình giữa những không gian rộng mở — trong những chuyến đi bộ đường dài, hay đứng bên bờ biển biển. Anh tìm thấy một cảm giác tương tự trong những bài thơ Đường mà anh yêu thích. “Đó là một bầu không khí mang vẻ cô liêu,” anh nói về một câu thơ. Còn về một câu khác, anh nói: “Tôi thích khung cảnh này. Một mình, lắng nghe những âm thanh ấy, ngắm nhìn bầu trời, thấy bầu trời soi bóng xuống dòng sông… Mọi thứ đều diễn ra trong sự tĩnh lặng của riêng mình. Bạn đứng đó và suy ngẫm.” Những vì sao thật xa xôi, anh nói, ngay cả những suy nghĩ của bạn cũng trở nên xa xưa khi ta chiêm nghiệm về những biến cố lịch sử từ quá khứ; bạn hoàn toàn, tuyệt đối đơn độc, trong khi thế giới tĩnh lặng bao quanh. “Đó thực sự là một cảm giác tuyệt vời.”

Deng đã tìm đến thiên nhiên trong những giai đoạn căng thẳng và bất định. Kristen Normand cho Quanta Magazine

Anh cũng thường ở lại với những khung cảnh hiu quạnh, cô liêu như vậy khi sáng tác thơ.

Phòng khách của anh hầu như trống không. Chỉ có một chiếc bàn làm việc, một tấm bảng trắng, một giá sách nhỏ và một chiếc ghế bành. Không sofa, không ti-vi, không tranh treo tường, cũng không có thảm trải sàn. “Điều đó tốt cho tôi,” anh nói. “Nó tạo cho tôi cảm giác tự do. Tôi cứ thế đi lại quanh phòng và suy ngẫm.” Mặc dù đã sống ở đó được một năm rưỡi, căn phòng  trông vẫn như thể anh vừa mới chuyển đến. Anh nói rằng sự thích nghi lớn nhất của mình trong những năm đại học là việc sống chung với bạn cùng phòng.

Ngay cả khi ở cạnh những người thân thiết nhất, Deng vẫn khiêm nhường và kín đáo. Anh rất hào hứng khi bàn về toán học — lúc ấy anh nói nhanh hơn một chút, to hơn một chút — nhưng theo các đồng nghiệp, khi câu chuyện chuyển sang những chủ đề khác, câu trả lời của anh thường ngắn gọn và đi thẳng vào trọng tâm. Anh không thấy cần phải giải thích dài dòng hoặc lái cuộc trò chuyện sang những hướng mới. (Khi được hỏi anh có nhà thơ yêu thích nào không, câu trả lời của anh chỉ là: “Có.”)

Deng không lái xe — thậm chí chưa bao giờ lấy bằng lái — vì anh sợ rằng tâm trí mình sẽ bị cuốn vào những vấn đề toán học khi đang tham gia giao thông. Thời còn là sinh viên đại học, có lần anh từng nghiền ngẫm từng dòng một bài báo khoa học chuyên sâu về phương trình đạo hàm riêng PDE, dài tới 75 trang. Anh mất một tuần, mỗi ngày tám tiếng. “Tôi kiểm tra kỹ lưỡng từng chi tiết một,” anh chia sẻ.

Dù hiện nay anh không còn duy trì được mức độ bền bỉ như thế nữa, anh vẫn có thể dành nhiều giờ liền để đọc kỹ một bài báo khoa học hoặc giải một bài toán. “Nếu tôi không đạt được tiến triển tốt, tôi sẽ thực sự thất vọng, và tôi sẽ tiếp tục nghĩ về nó,” anh nói.

Anh hoàn thành chương trình học tại MIT vào năm 2011, sau đó theo học chương trình sau đại học tại Đại học Princeton, rồi tiếp tục làm nghiên cứu sau tiến sĩ tại Viện Courant thuộc Đại học New York. “Ngay từ đầu anh ấy đã rất xuất sắc,” Alexandru Ionescu, người hướng dẫn luận án tiến sĩ của Deng, cho biết. “Ngay cả khi còn là nghiên cứu sinh, dù chưa có nhiều kinh nghiệm… anh ấy đã rất giỏi trong việc nắm bắt bản chất của vấn đề, nhận ra đâu là yếu tố then chốt trong một bài toán.”

Deng muốn đạt được tiến bộ trong việc giải bài toán dữ liệu ngẫu nhiên, cụ thể là trường hợp các PDE bắt đầu với những sóng ban đầu “thô”/”hỗn độn” — những sóng ngẫu nhiên dao động dữ dội hoặc có những điểm gián đoạn. Nếu anh có thể chứng minh rằng ngay cả trong những điều kiện như vậy, một PDE vẫn có nghiệm, anh sẽ hiểu sâu sắc hơn về phương trình đó cũng như về một tính chất cụ thể của các hệ vật lý gọi là độ đo Gibbs (Gibbs measure).

Nhưng chẳng bao lâu sau, anh nhận ra rằng những công cụ có sẵn vào thời điểm đó chưa đủ để giải quyết công việc. “Chúng tôi có thể thu được một số kết quả, nhưng chúng chưa thật sự thỏa đáng,” Deng nói. Anh chuyển sang những vấn đề khác, nhưng chúng không cuốn hút anh theo cùng một cách. Anh bắt đầu cảm thấy mất phương hướng và đôi khi “hơi chán nản”.

“Những việc mà tôi làm vào thời gian đó không phải là tốt nhất,” anh nói.

“Tôi nghĩ điều đó đã làm tổn thương anh ấy,” Nahmod, người sau này trở thành một người bạn thân thiết và là chỗ dựa tinh thần của Deng, cho biết. “Anh ấy là người rất nhạy cảm.”

(Bài thơ “Cẩm sắt”  của thi sĩ Lý Thương Ẩn)

Cớ sao cây đàn sầu lại có năm mươi dây?

Mỗi dây, mỗi điệu chỉ gợi về những mùa xuân đã qua:

Giấc mộng ban mai mờ ảo hóa thành cánh bướm;

Lòng đắm say trút cả vào tiếng chim đỗ quyên.

Trong ánh trăng tựa ngọc, thấy lệ rơi nơi mắt mỹ nhân ngư;

Giữa niềm vui rạng rỡ, làn khói ngọc bích nhẹ nhàng bay lên.

Những cảm xúc ấy chẳng thể nào tìm lại được nữa;

Dường như chúng đã vụt mất ngay cả khi ta đang đắm mình trong đó.

– Bản dịch của Hứa Uyên Xung (Xu Yuanchong) (có nhiều bản dịch tiếng Việt)

Để khuây khỏa, Deng tìm đến truyện tranh (manga). “Tôi nhớ anh ấy khi còn ở viện Courant. Lúc nào anh ấy cũng cầm một cuốn manga trên tay,” Jalal Shatah, một giáo sư từng giữ chức chủ nhiệm khoa toán tại đây, kể lại. Deng đặc biệt thích những câu chuyện về tình bạn sâu sắc và sự lãng mạn, đồng thời bị cuốn hút bởi một thể loại gọi là yuri, tập trung vào những mối quan hệ như vậy giữa các nhân vật nữ — những câu chuyện mà theo lời anh, “mang lại cảm giác dễ chịu, ấm áp và đẹp đẽ”. Chúng giúp Deng đối xử tử tế hơn với chính mình, “cảm thấy thoải mái hơn với cuộc sống”.

Vào năm 2017, khi thời gian nghiên cứu sau tiến sĩ tại Đại học New York sắp kết thúc, Deng vẫn chưa nhận được lời mời nào cho vị trí giảng viên với lộ trình hướng tới trọn đời (tenure-track) từ các trường mà anh mong muốn. Trong nhiều tháng, Deng cân nhắc việc trở về Trung Quốc hoặc nhận một công việc trong lĩnh vực tài chính tại một trong những công ty từng tuyển dụng anh. “Tôi đã nói với họ rằng tôi vẫn muốn theo đuổi toán học, nhưng nếu nhận thấy mình không thể đạt được mục tiêu đã đề ra, thì có lẽ tôi sẽ cân nhắc lựa chọn này,” Deng cho hay.

Deng vẫn thích ở một mình — thực tế là anh chuộng điều đó hơn — nhưng lần đầu tiên trong đời, anh cảm thấy cô đơn.

Anh hình dung về những ngày tháng sắp tới. “Suy cho cùng, với tư cách là một nhà toán học, tôi sẽ chỉ làm toán mỗi ngày thôi,” Deng nói. “Đến trường, về nhà, rồi đến trường, rồi lại về nhà.” Thế nhưng, anh cảm thấy vô cùng bất an về tương lai đó. Liệu anh có thể tạo ra những thành tựu lớn lao không? Liệu anh có được công nhận vì những thành quả đó không?

Anh nhớ lại lúc đọc một bộ manga, “một trong những câu chuyện được lý tưởng hóa, nơi các nhân vật đến với nhau, làm việc, và trải qua những giai đoạn đầy phức tạp, để rồi cuối cùng họ có một cuộc sống tốt đẹp. Đang đọc câu chuyện ấy, đột nhiên tôi cảm thấy rất xúc động. Tôi nghĩ: ‘Ừ, vậy còn bản thân mình thì sao?’”

Mùa đông năm ấy, trong tâm trạng “vô cùng căng thẳng và lo âu”, anh lấy tàu đến Long Beach gần đó, nằm ở bờ nam của Long Island, và thuê một phòng khách sạn. Tại đây, anh lang thang dọc bờ biển và làm thơ, trút hết tâm tư lên trang giấy bằng thể thơ tám câu nghiêm ngặt —thể thơ mà chính Lý Thương Ẩn đã sử dụng. Anh viết về nỗi khao khát muốn thoát khỏi thực tại; rằng hành động đó sẽ là một sự phản bội đối với giấc mơ theo đuổi toán học của mình. Và về những con sóng dường như cũng đang bồn chồn, bất an.

Deng tập trung vào toán học tuyệt đối đến nỗi anh không lái xe, vì lo tâm trí mình sẽ bị cuốn sang những suy nghĩ về toán học khi đang tham gia giao thông. Kristen Normand cho Quanta Magazine

Sau khi đã trút hết bầu tâm sự, “thì tôi có thể tự nhủ: ‘Được rồi, xong rồi.’ Tôi có thể quay lại với cuộc sống của mình,” Deng chia sẻ. Anh trở về Manhattan. Dù vẫn còn cảm thấy bất an, nhưng sau một tuần nghỉ ngơi, anh “tự nhiên cảm nhận nhu cầu phải làm việc, cần phải làm toán.”

Anh tiếp tục miệt mài và cố gắng gạt bỏ những hoài nghi ra khỏi tâm trí. Rồi vào năm 2018, anh nhận được lời mời từ Đại học Nam California vào làm việc với lộ trình hướng tới vị trí biên chế trọn đời (tenure-track). Anh nhận lời ngay.

Tìm lại được con đường

Một nhà toán học khác cũng đang cảm thấy mất phương hướng đã giúp Deng thoát khỏi giai đoạn lo âu này — và đưa anh trở lại với bài toán dữ liệu ngẫu nhiên. Haitian Yue khi đó vừa bắt đầu công việc nghiên cứu sau tiến sĩ tại Đại học Nam California, và đang gặp nhiều khó khăn. “Tôi chưa tìm được một dự án thực sự ưng ý nào. Tôi cũng không có mục tiêu rõ ràng nào cả,” Yue nói. Trong lúc lái xe đưa Deng về căn hộ của anh sau một bữa ăn tối với cả nhóm — mọi người đều biết Deng không lái xe, ngay cả khi sống ở Los Angeles — Yue tâm sự về những lo lắng của mình và nhắc đến việc anh từng làm luận án tiến sĩ về chính bài toán dữ liệu ngẫu nhiên.

Deng nghĩ rằng đây là thời điểm thích hợp để quay lại đề tài ấy, và đề nghị họ hợp tác với Nahmod, người có bài thuyết trình trước đây đã khiến Deng bị cuốn hút vào chủ đề này lần đầu tiên.

Deng, Nahmod và Yue quay lại nghiên cứu phương trình Schrödinger hai-chiều, và bắt tay chứng minh rằng: ngay cả khi bắt đầu với một sóng ban đầu ngẫu nhiên có độ gồ ghề cao, phương trình này vẫn có một nghiệm được xác định rõ ràng. Nếu có thể chứng minh điều đó, họ sẽ có thể chỉ ra rằng phương trình này ẩn chứa một cấu trúc thống kê.

Giả sử bạn chọn ngẫu nhiên một sóng ban đầu từ vô số khả năng, tuân theo một quy luật nổi tiếng gọi là độ đo Gibbs. Quy luật ấy — vốn được cho là dùng để mô hình hóa một hệ thống đang ở trạng thái cân bằng — cho biết rằng: một tỷ lệ nhất định trong các sóng ban đầu khả dĩ sẽ có một tính chất nào đó, một tỷ lệ khác sẽ có một tính chất khác, và cứ tiếp tục như vậy. Một sóng cụ thể nào đó có thể thay đổi theo thời gian và cuối cùng biểu hiện những đặc tính rất khác biệt. Nhưng Deng, Nahmod và Yue muốn chứng minh rằng: nếu xét toàn bộ các sóng thu được sau cùng, chúng vẫn được phân bố theo đúng quy luật ban đầu. Nói theo ngôn ngữ của các nhà toán học, độ đo Gibbs là “bất biến” (invariant).

Theo cách làm truyền thống, các nhà toán học sẽ giải quyết bài toán này bằng cách tách nghiệm của PDE thành hai phần và phân tích chúng một cách riêng biệt. Tuy nhiên trong trường hợp này, cách làm ấy không hiệu quả: một trong hai phần ấy vẫn quá phức tạp. Vì vậy, Deng, Nahmod và Yue tiếp tục chia nhỏ thêm phần phức tạp đó. Sau đó, họ phát triển những công cụ gọi là tensor ngẫu nhiên để phân tích các phần ấy và khảo sát cách chúng tác động lẫn nhau.

Yue nhớ lại rằng khi họ gặp mặt nhau để làm việc về dự án này, Deng thường trở nên im lặng, chìm vào suy nghĩ trong suốt năm, mười, thậm chí mười lăm phút mỗi lần. “Andrea và tôi vẫn tiếp tục thảo luận, trong khi Yu Deng giữ im lặng và cố gắng tự mình suy nghĩ,” Yue nói. “Anh ấy thực hiện rất nhiều phép tính trong đầu. Rồi đột nhiên anh ấy xóa những gì chúng tôi đã viết ra và nói: ‘Chúng ta nên làm như vầy nè.’”

“Thật sự kỳ diệu,” Nahmod nói. “Cộng tác với anh ấy là một trải nghiệm đầy hứng khởi. Khi quan tâm đến một điều gì đó, anh ấy tập trung cao độ như một tia laser vậy.”

Như Pierre Germain, người hướng dẫn nghiên cứu sau tiến sĩ của Deng, từng nói: “Khi làm việc cùng anh ấy, bạn cảm giác như đang chạy đuổi theo một đoàn tàu vậy.”

Chính kỹ năng đó cuối cùng đã giúp bộ ba hiểu được nghiệm của phương trình Schrödinger hai-chiều, và chứng minh rằng độ đo Gibbs là bất biến. Chứng minh này sau đó được công bố trên tạp chí Annals of Mathematics, giúp hoàn thành mục tiêu mà Deng đã đặt ra cho bản thân từ nhiều năm trước.

Một dự án bí mật

 Cũng vào khoảng thời gian Deng bắt đầu hợp tác với Nahmod và Yue, anh đã gặp Zaher Hani — một sự gặp gỡ mà anh cho là cũng đã giúp anh vượt qua giai đoạn hoài nghi và chán nản của mình.

Hani, một nhà toán học tại Đại học Michigan, cũng đang nghiên cứu các nghiệm của PDE với những sóng ban đầu ngẫu nhiên, nhưng với một mục tiêu khác. Hãy lấy phương trình Schrödinger, phương trình cho biết các sóng riêng lẻ tương tác và ảnh hưởng lẫn nhau như thế nào theo thời gian. Các nhà vật lý từ lâu đã chấp nhận rằng: từ mô tả “vi mô” này của một hệ thống, ta có thể suy ra một mô tả ở cấp độ cao hơn về hành vi trung bình của hệ thống đó — vốn được biểu diễn bởi một phương trình khác, được gọi là phương trình động học sóng (wave kinetic equation).

Các nhà toán học như Hani hy vọng có thể đưa ra được một chứng minh chặt chẽ về mặt toán học cho sự suy dẫn ấy.

Sự chú ý đến từng chi tiết của Deng đã trở thành giai thoại. “Anh  ấy nắm vững mọi thứ – tận 200 trang của tính toán – ngay trong đầu mà không cần xem lại,” một đồng nghiệp cho biết. Kristen Normand cho Quanta Magazine

Năm 2019, Hani và một số đồng nghiệp vừa chứng minh rằng phương trình Schrödinger hội tụ về phương trình động học sóng trên các thang thời gian ngắn. Nhưng trên các thang thời gian dài hơn, các sóng có cơ hội tương tác với nhau theo những cách phức tạp hơn nhiều, dường như không thể xử lý được. Hani nhận ra rằng những hiểu biết từ nghiên cứu về bài toán dữ liệu ngẫu nhiên có thể giúp ích. “Khi đó, tôi đã hỏi một số chuyên gia khác trong lĩnh vực này, nhưng không nhận được câu trả lời nào thỏa đáng,” ông nói. “Cho đến khi tôi hỏi Yu Deng. Anh ấy có đúng các ý tưởng mà tôi đang cần.”

Hai người bắt tay hợp tác và mở rộng kết quả trước đó của Hani đến một thang thời gian tiệm cận với phạm vi mà các nhà vật lý quan tâm. Deng đã định dừng lại ở đó. “Tôi lo rằng điều đó có thể bất khả thi, rằng các công cụ toán học hiện có là không đủ,” anh nói.

Nhưng Hani thuyết phục Deng tiếp tục. Cuối cùng, họ từ bỏ những cách tiếp cận trước đây và tự phát triển một kỹ thuật riêng của mình “từ con số không”, Germain nói. “Thật điên rồ… Thật thú vị, hay đáng sợ — tùy cách bạn muốn diễn đạt — khi họ gạt bỏ mọi thứ sang một bên và cứ thế lao thẳng về phía trước.”

Trước hết, họ biểu diễn nghiệm dài hạn của phương trình Schrödinger dưới dạng một tổng phức tạp của các sơ đồ có hình dáng giống như những cái cây. Để chứng minh rằng tổng này hội tụ về phương trình động học sóng, họ cần ước lượng mức độ đóng góp của mỗi “cây” vào tổng đó.

“Những ước tính này vượt quá khả năng của bất kỳ ai,” Shatah nói.

Như Ionescu diễn đạt: “Để làm được điều đó, cần phải có một trí năng phi thường.

Deng có đúng kiểu trí năng ấy. Trước hết, anh rất giỏi về toán tổ hợp, một năng lực mà đồng nghiệp nhận xét là đã khiến anh trở nên nổi trội hơn những người khác. Và “anh ấy không hề biết sợ là gì,”  Hani nói. “Ý tôi là, đôi khi có những phép tính khiến tôi phải mất nửa ngày để chuẩn bị tinh thần và nửa ngày còn lại để thực hiện. Nhưng anh ấy có thể giải quyết chúng chỉ trong một hoặc hai giờ.”

Bộ đôi chứng minh rằng một số cây trong các sơ đồ ấy triệt tiêu lẫn nhau, không đóng góp gì vào tổng chung. Sau đó, họ tìm ra một cách khéo léo để phân chia những cây còn lại thành các phần nhỏ hơn, dễ phân tích hơn. Công việc này đòi hỏi điều mà Hani mô tả là độ chính xác gần như tuyệt đối, tựa như thao tác của một ca phẫu thuật vậy.

“Tâm trí tôi như muốn nổ tung,” Deng nói.

Bằng cách xử lý các phần nhỏ hơn này, họ chứng minh rằng, quả thực, phương trình Schrödinger thục sự dẫn đến phương trình động học sóng trong những thang thời gian thích hợp — một kết quả mà sau đó họ còn mở rộng sang những thang thời gian dài hơn (và sát với thực tế hơn).

Anh và Hani nhận ra rằng, hóa ra chứng minh cuối cùng ấy có thể nắm giữ chìa khóa cho một bài toán khác — một bài toán gây tham vọng lớn cho bao nhiêu nhà nghiên cứu khác tìm cách giải quyết, khiến anh và Hani cảm thấy cần phải bí mật thực hiện công trình này.

Deng cùng các cộng sự đã chứng minh rằng chuyển động của các hạt khí va đập bên trong một chiếc hộp—dù trải qua vô số lần va chạm, ngay cả trong những khoảng thời gian dài—một cách tất yếu và hợp lý sẽ dẫn đến các đặc tính có thể dự đoán được của chất khí. Animation by BlueRingMedia/copyright Shutterstock (Được thêm vào)

Vào đầu thế kỷ XX, nhà toán học David Hilbert đã đặt ra một câu hỏi, được gọi là “bài toán thứ sáu” của ông, về việc kết nối giữa các mô tả vi mô và vĩ mô của các chất khí. Về bản chất, đó chính là bài toán mà Deng và Hani vừa giải quyết được đối với các sóng, nhưng lần này áp dụng cho các hạt trong những bối cảnh cụ thể.

“Những bài toán này chỉ có vẻ giống nhau ‘nếu bạn nhìn mọi thứ từ xa’,” Isabelle Gallagher, một nhà toán học tại Đại học Paris Cité, người đã dành nhiều năm nghiên cứu bài toán thứ sáu của Hilbert, phát biểu. “Về mặt vật lý, chúng rất khác nhau.”

Deng và Hani dù vậy vẫn hướng tới bài toán này, một bài toán mà trước đó mới chỉ được giải quyết trong những thang thời gian ngắn hơn. Cùng với Xiao Ma thuộc Đại học Michigan, họ miệt mài làm việc ngày đêm, phân tích những sơ đồ mới và tìm cách chia nhỏ chúng theo những phương thức còn phức tạp hơn. Họ đã tiến gần đến tình trạng kiệt sức.

 

Văn phòng của Deng, cũng như nhà riêng anh, giản dị đến mức khắc khổ. Kristen Normand cho Quanta Magazine

Deng nhớ lại anh liên tục uống các loại nước tăng lực và hầu như không ra ngoài trong lúc hoàn thiện những chi tiết cuối cùng. Khi ấy anh đang về thăm cha mẹ ở Trung Quốc. Mẹ anh kể rằng, ngay khi cả đang ăn uống hoặc trò chuyện, thì “đột nhiên một bài toán xuất hiện trong đầu nó. Lúc đó chúng tôi biết ngay mình nên ngừng nói chuyện lại, vì nó đã bước vào thế giới toán học riêng của mình rồi.”

Đến tháng 8 năm 2024, Deng, Hani và Ma đã hoàn thành bài nghiên cứu dài 200 trang của mình, giải quyết bài toán đã tồn tại 124 năm của Hilbert cho những thang thời gian dài. Cộng đồng toán học còn lại đã phải mất nhiều tháng mới bắt đầu có thể hiểu và nắm bắt được nội dung công trình này. “Chúng tôi đã hoàn toàn bối rối và hoang mang,” Gallagher chia sẻ. Deng đã bay đến Paris để trực tiếp giải thích công trình cho bà và các đồng nghiệp. “Anh ấy thực sự muốn chúng tôi hiểu rõ về nó,” bà chia sẻ. “Anh ấy thật phi thường. Suốt cả tuần lễ đó, tôi không thấy anh ấy đã mở sổ ra ghi chép, dù chỉ một lần.  Anh ấy nắm vững mọi thứ – tận 200 trang tính toán – hoàn toàn bằng trí nhớ.”

Sau đó, Deng, Hani và Ma đã viết lại bài báo của họ để làm cho nó dễ đọc hơn. Phiên bản đã được chỉnh sửa này cũng sẽ được đăng trên tạp chí Annals.

Có một điều gì đó mới mẻ

Deng vẫn luôn đặt ra những tiêu chuẩn cực kỳ khắc khe cho bản thân. Khi biết tin mình đã giành được Huy chương Fields vào tháng 1 năm 2026, Deng cảm thấy nhẹ nhõm nhiều hơn là phấn khích. Anh vốn không quá quan tâm đến việc giành được giải thưởng này, nhưng khi những tin đồn bắt đầu lan truyền rằng anh nằm trong danh sách đề cử cuối cùng, “tôi đã cảm thấy có phần căng thẳng,” anh cho biết.

Giờ đây, Deng không còn quá lo lắng về tương lai của mình nữa. Anh đang thực hiện công việc mà mình tâm huyết và cũng đã được công nhận rộng rãi vì điều đó. Anh cũng nhìn thấy vẻ đẹp trong những bài toáni mà mình đang khám phá. Vẻ đẹp ấy có thể không dễ nhận ra: Nó có một phần mang tính tùy biến theo từng trường hợp và đòi hỏi rất nhiều công sức. Mỗi khi phân tích một hệ phương trình khác, anh đều phải làm lại toàn bộ các chi tiết, ngay cả khi cách tiếp cận tổng thể vẫn được giữ nguyên.

“Nhưng mỗi lần như vậy,” Deng nói, “chúng tôi đều có được một điều gì đó mới mẻ, và điều đó cũng rất thú vị.”

Cũng có một điều gì đó thật thỏa lòng khi thấy toán tổ hợp cuối cùng lại đóng một vai trò to lớn đến vậy trong công trình của anh. Nó gợi nhớ đến tuổi thơ của anh — những năm tháng dành cho cờ vây, một trong những trò chơi giàu tính tổ hợp nhất thế giới, và các kỳ thi Olympic toán học, vốn thường tập trung nhiều vào toán tổ hợp. Nó cũng gợi nhớ đến điều đầu tiên đã thu hút anh đến với thơ ca: sự nảy nở dường như vô tận của các tầng nghĩa được tạo nên từ những sự kết hợp đơn giản của từ ngữ. Theo cách ấy, công việc nghiên cứu toán học của anh đã trở nên thân thuộc — tựa như một chốn đi về đầy an yên đối với anh.

Cuộc sống hiện nay của Deng nhìn chung vẫn chẳng khác gì so với thập kỷ qua. Nhưng anh cảm thấy thoải mái hơn. Theo Nahmod, mặc dù Deng vẫn là người ít nói, nhưng anh không còn nhút nhát đến mức khổ sở như trước nữa. Anh đọc và làm thơ. Thỉnh thoảng anh chơi cờ vây. Anh đang nghĩ đến việc nuôi một con rắn làm thú cưng, bởi vì “nó trông bắt mắt. Nó thật đẹp,” anh cho hay. Anh vẫn đọc truyện manga, nhưng hoàn toàn chỉ để giải trí, không phải vì cố đối xử bớt khắt khe hơn với bản thân mình như trước đây.

“Tôi ít bị áp lực hơn,” anh nói. Điều đó có nghĩa là “bạn có thể cứ thoải mái suy nghĩ về toán học theo ý mình.”

“Để xem tôi có thể còn đi được bao xa.”

– Hết –

 

Lời bạt

(I)

Năm 1916, nhà vật lý tiên phong người Ba Lan Marian Smoluchowski (1872–1917), dựa trên cơ sở trực giác (heuristic), đã tìm ra một công thức mô tả nồng độ trung bình của các hạt đơn, hạt kép, hạt ba, v.v., tại mỗi thời điểm t trong mô hình ngưng tụ thành các colloid (chất keo dính) của ông. Dĩ nhiên thuyết Smoluchowski cũng có thể xếp vào hạng mục bài toán thứ 6 của Hilbert một cách tương tự.

Năm 1979, lấy cảm hứng từ công trình tiên phong của Lanford về phương trình Boltzmann (1975), đồng nghiệp Reinhard Lang và tôi đi tìm một mô hình vật lý khả thi để chứng minh điều tương tự: bắt cầu nối giữa sự vận hành ở cấp vi mô và cấp vĩ mô, một cách chặt chẽ (rigorous). Mô hình chúng tôi chọn lý thuyết Smoluchowski, thay vì Boltzmann, chuyển động Brown thay vì chuyển động Newton của các hạt.

Thực tế chúng tôi đã thành công trong việc suy ra được các kết quả của Smoluchowski, các phương trình động học của tỷ trọng của các hạt một cách chặt chẽ, xuất phát từ các chuyển động Brown ở cấp vi mô, đúng trong tinh thần Bài toán thứ sáu của Hilbert.

Cụ thể: mô hình cơ bản chúng tôi chọn có thể được mô tả như sau. Xét n hạt trong không gian Euclid ba chiều, mỗi hạt được bao quanh bởi một “cầu ảnh hưởng” có đường kính R. Các hạt chuyển động độc lập với nhau theo chuyển động Brown bao lâu khoảng cách giữa chúng còn lớn hơn R. Khi hai hạt tiếp xúc nhau ở khoảng cách R, chúng dính lại và tạo thành một “hạt kép”; hạt này lại tiếp tục chuyển động Brown, và quá trình cứ thế tiếp diễn. Dựa trên cơ sở suy luận trực giác, Smoluchowski đã tìm ra công thức explicit cho nồng độ trung bình của các hạt đơn, hạt kép, hạt ba, v.v., tại mỗi thời điểm t.

Mục tiêu của chúng tôi là đặt lý thuyết của Smoluchowski trên một nền tảng toán học vững chắc. Kết quả cho thấy lý thuyết Smoluchowsky đúng một cách chặt chẽ trong giới hạn khi n → ∞, R → 0 sao cho tích nR không đổi. Phương pháp được sử dụng là toán xác suất và tổ hợp (combinatorics). Kết quả này đã được đăng trên tạp chí Lý thuyết xác suất và các Lãnh vực liên quan của NXB Springer vol. 54, năm 1980:

Từ đó trở đi, cho đến lúc Deng Yu, Zaher Hani, và Xiao Ma tạo bứt phá năm 2024 cho trường hợp phương trình cổ điển Boltzmann, dướng như không có kết quả nào khác có tính chất tương tự được nghiên cứu.

Kết quả của Deng Yu và các đồng sự là hết sức bất ngờ, một bức phá to lớn về phương pháp luận. Họ quy bài toán hạt của Boltzmann về bài toán sóng (wave) mà ở đó họ đã có kết quả. Sau 124 năm, không ngờ Bài toán thứ 6 của Hilbert lại hồi sinh và được giải quyết. Thế giới toán học mở rộng ra một cách chính xác. Nói như Henri Poincaré trong La Valeur de la Science (1905), «On peut dire qu’aujourd’hui la rigueur absolue est atteinte» (“Chúng ta có thể khẳng định rằng ngày nay sự nghiêm ngặt tuyệt đối đã được đạt được”). Vâng. Intuition cũng không thiếu như ông mong muốn, hay nói đúng hơn, chính trực giác đã dẫn dắt con người đến những kết quả bứt phá, nhưng diễn ra ở nhiều tầng lớp khác nhau và các phép toán thực hiện rất phức tạp và tỉ mỉ.

(II)

Hạnh phúc thay những linh hồn được ban đặc ân vươn tới

Những chân lý này, và chinh phục bầu trời đầy sao lấp lánh!

Họ đã đưa những vì sao xa xôi vào tầm mắt tỏ tường,

Và dùng những chuỗi tư duy để bao trùm cả khoảng không vô tận.

Đó là cách chạm tới thiên đường— không phải bằng nỗ lực người xưa

Chất chồng núi lên núi một cách kiêu ngạo.

— Ovid, nhà thơ La Mã sinh năm 43 TCN

“Mỗi nền văn minh nào muốn xứng đáng với danh hiệu đó đều từng nỗ lực đi tìm chân lý. Những con người biết suy tư luôn khao khát thấu hiểu các hiện tượng tự nhiên đa dạng, giải mã bí ẩn về sự hiện diện của con người trên trái đất, xác định mục đích sống và khám phá vận mệnh nhân loại. Ở mọi nền văn minh sơ khai, ngoại trừ một trường hợp, câu trả lời cho những vấn đề này đều do các nhà lãnh đạo tôn giáo đưa ra và được công chúng chấp nhận rộng rãi. Nền văn minh Hy Lạp cổ đại chính là ngoại lệ đó. Điều mà người Hy Lạp khám phá ra—cũng là khám phá vĩ đại nhất của nhân loại—chính là sức mạnh của lý tính. Chính người Hy Lạp thời kỳ cổ đại (giai đoạn phát triển rực rỡ nhất từ ​​năm 600 đến năm 300 TCN) đã nhận ra rằng con người sở hữu trí tuệ—một năng lực tư duy có khả năng khám phá chân lý, đôi khi với sự hỗ trợ từ việc quan sát hoặc thực nghiệm.”

— Morris Kline, nhà toán học và nghiên cứu sử toán Mỹ

Với hai trích dẫn trên, như những đặc trưng của nền văn minh phương Tây, tôi xin kết thúc bài viết này. Cảm ơn anh chị bạn đọc về sự quan tâm.

Nguyễn Xuân Xanh