Wang Hong (Vương Hồng): Nữ tu sĩ của đền thờ toán học

by , under Uncategorized

“SỐNG TRỌN VẸN TRONG THẾ GIỚI TOÁN HỌC LÀ BƯỚC ĐI TRÊN LẰN RANH MONG MANH”

Tác giả: Natalie Wolchover

Tạp chí Quanta Magazine

Đỗ Thị Thu Trà, người dịch

Nguyễn Xuân Xanh xem lại và giới thiệu

“Hãy giành thì giờ của bạn để suy nghĩ”

— Wang Hong

Wang Hong (Vương Hồng) (1991, 35 tuổi)

Acknowledgement, Lời cảm ơn: Chúng tôi hết sức cảm ơn tạp chí Quanta Magazine và tác giả Natalie Wolchover về bài viết xuất sắc về nhà nữ toán học tuyệt vời Wang Hong, người vừa được trao giải Fields tại Philadelphia, tấm gương hết sức đáng ngưỡng mộ và truyền cảm hứng cho giới trẻ Việt Nam. Chúng tôi đã hết sức cố gắng để chuyển ngữ, nhất là những thuật ngữ chuyên môn, để bạn đọc hình dung được hành trình lập thân, những chặng đường khoa học và những đóng góp của cô, cũng như không quên giúp bạn độc hiểu được intuitive những ý tưởng toán họ trong context, và cách Wang Hong xử lý những khó khăn chuyên môn. Rất cảm ơn Thu Trà đã có bản dịch rất tốt. Những chỗ nào còn khó hiểu, xin độc giả tham khảo bản gốc tiếng Anh ở cuối bài. 

Chúng tôi cũng rất cảm ơn bạn T.M.K. đã giúp phần xử lý ảnh animated và thông tin báo chí.

Tôi cũng còn nợ bạn đọc một Lời bạt chưa thể viết được hôm nay. Xin hẹn lại khi khác.

 

Lời dẫn nhập

(I)

Ngày 23 tháng 7 năm 2026 tại lễ khai mạc Đại hội Toán học Quốc tế (ICM, International Congress of Mathematicians) diễn ra tại Philadelphia, bang Pennsylvania, Hoa Kỳ, Liên đoàn Toán học Quốc tế (IMU, International Mathematical Union) đã công bố bốn nhà toán học được trao Huy chương Fields năm 2026: Deng Yu, John Pardon, Jacob Tsimerman, and Wang Hong. Hai trong đó, Deng Yu và Wang Hong, có quốc tịch Trung Quốc – lần đầu tiên. Cả hai sinh sống và làm việc ở Hoa Kỳ; riêng Wang Hong còn sống và làm việc ở Pháp, IHES, Institut des Hautes Études Scientifiques (Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp). Sự kiện có hai nhà toán học quốc tịch Trung Quốc gây sự chú ý lớn trong dư luận, vì nó hiếm. Nếu xác suất một nhà toán học Trung Quốc nhận giải Fields, giả thiết 1/50, tức sau 50 kỳ phát giải có một người quốc tịch Trung Quốc, thì xác xuất để hai người quốc tịch Trung Quốc cùng lãnh giải một lần là (1/50)x(1/50) = 0, 0004, rất nhỏ. Vậy mà nó đã xảy ra. Và đó chính là điều gây dư luận. Nước Mỹ tức khắc tràn ngập các bài báo về sự kiện như một trận sao băng, đặc biệt về Wang và Deng. Chỉ trong hai ngày 23/7 và 24/7 tờ The New York Times đăng đến 4 bài viết, trong đó 3 bài nói về Wang và Deng, bài thứ tư về cả bốn nhà được giải. “Yu Deng dự đoán được hoạt động của tổng thể (của hệ thống) dựa trên những (hoạt động của) thành phần nhỏ nhất của nó”, “Một ngày hoành tráng cho Toán”. “Ánh hào quang, sự quyến rũ và một siêu sao toán học tầm cỡ thế giới” là giật tít của báo The Times Luân đôn. “Đặng Vũ (Deng Yu) và Vương Hồng (Wang Hong) là những người Trung Quốc đầu tiên cùng đoạt Huy chương Fields; dù Đặng Vũ nhận được nhiều lời tán dương đầy trân trọng, nhưng Vương Hồng mới là người đang trở thành tâm điểm bàn tán của dư luận.” “Và trong khi Đặng nhận được những lời tán dương đầy trân trọng – thậm chí cả cái “vinh dự” chẳng mấy hay ho là bị cơ quan kiểm duyệt của nhà nước Trung quốc “sờ gáy” – thì chính Vương, 35 tuổi, mới là người khiến cả Trung Quốc phải phát cuồng.” Có báo soi cả các phụ kiện ăn mặc của Wang, và các nhà sản xuất thời trang sau đó vào cuộc để quảng bá sản phẩm.

Trung Quốc trước đó đã có hai người từng đoạt Huy chương Fields, là Shing-Tung Yau (Khâu Thành Đồng, năm 1982) và Terence Tao (năm 2006), nhưng Shing-Tung Yau  hoàn thành chương trình giáo dục phổ thông và đại học tại Hồng Kông, còn Terence Tao lớn lên tại Úc; không ai trong họ từng theo học trong hệ thống giáo dục nội địa tại Trung Quốc đại lục. Một người nữa, thuộc lớp “tiền bối” của những tài năng toán học Trung Quốc là Shiing-Shen Chern (Trần Tỉnh Thân) (1911- 2004). Ông được mệnh danh là “cha đẻ của hình học vi phân hiện đại” và được công nhận rộng rãi là một nhà lãnh đạo trong lĩnh vực hình học cũng như là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20. Ông đã giành được nhiều giải thưởng và sự công nhận, bao gồm Giải Wolf và Giải Shaw. Ông tốt nghiệp thạc sĩ ở Đại học Thanh Hoa trước khi sang châu Âu rồi Pháp, rồi sau đó đến Hoa Kỳ. Cha của Dương Chấn Ninh (Yang Chen-Ning) là Dương Khắc Thuần (Yang Ko-Chuen) – một giáo sư khác từng tu nghiệp tại Chicago và giảng dạy tại Thanh Hoa nhưng chuyên về đại số – cũng từng dạy Chern. Đồng thời, Chern cũng là thầy dạy toán bậc đại học cho Dương Chấn Ninh tại Thanh Hoa.

Wang Hong chỉ tỏ ra có năng khiếu toán học khi giải được một bài toán đố hình học, trước cả bố, ở tuổi 6. Bài toán này nằm trong mục “Hãy cùng suy nghĩ” trong một quyển sách giáo khoa mà cô mua để học truớc: Cho trước 7 cái cây, hỏi có thể tạo ra tối đa bao nhiêu đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng đi qua đúng 3 cái cây? Bài toán này lại thuộc loại hình học đặc thù (liên thuộc) có mối liên hệ với bài toán Kakeya sau này của cô. Cô đã vô cùng thích thú và giải được. (Einstein cũng từng tự tạo ra chứng minh định lý Pythagoras ở tuổi 12).

Wang Hong sinh ra ở thanh phố Quế Lâm (Guilin), Quảng Tây, một vùng đất rất xinh đẹp. Một câu nói nổi tiếng của Trung Quốc về phong cảnh Quế Lâm là: “Phong cảnh Quế Lâm đẹp nhất thiên hạ.” Thành phố này cũng là nơi cư ngụ của nhiều dân tộc thiểu số. Cha cô là người Dao.

[Trước thời nhà Tần, vùng Quế Lâm là nơi sinh sống của người Bách Việt. Vào năm 314 TCN, một khu định cư nhỏ đã được hình thành dọc theo bờ sông Ly Giang. Hậu duệ của người Bách Việt cổ vẫn sinh sống tại Quế Lâm và khắp vùng Quảng Tây; ngày nay, họ chủ yếu được đại diện bởi dân tộc thiểu số Choang (Zhuang) cùng các nhóm cư dân bản địa khác. Theo các tài liệu lịch sử khu vực, “người Choang có nguồn gốc từ người Bách Việt cổ… vốn là những cư dân đầu tiên của vùng Lĩnh Nam”.

Ngày nay, Quế Lâm vẫn còn là nơi sinh sống của nhiều nhóm dân tộc, chủ yếu là người Hán, người Dao và người Choang, và một số khác như người Miêu, người Động và người Hồi cũng sinh sống tại khu vực này, đặc biệt là gần các huyện nông thôn và những vùng có ruộng bậc thang.]

Năm 2007, Wang Hong – khi đó mới 16 tuổi – đã tham gia kỳ thi tuyển sinh đại học toàn quốc (Gaokao, Cao khảo). Điểm thi của cô đạt 653, một điểm số cao.  Do được xem thuộc nhóm dân tộc thiểu số tại Quảng Tây, cô được cộng thêm 20 điểm ưu tiên theo chính sách, nâng tổng điểm xét tuyển đại học chính thức của cô lên 673 điểm. Tuy nhiên có một sinh viên khác có điểm số vượt lên cô, trong khi quota Bắc Đại dành cho Quảng Tây chỉ là 1, nên cô không đạt nguyện vọng, mà phải theo học ngành Khoa học địa chất.

Trong khi đó, Deng Yu, sinh ở Thẩm Quyến, người từng giành huy chương vàng Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 2006 ở Slovenia, được tuyển thẳng vào Khoa toán Bắc Đại. Anh lớn hơn Wang Hong hai tuổi. Nhưng với lòng đam mê toán, và nỗ lực tối đa, cô cuối cùng được chuyển qua học Khoa toán như ý nguyện của cô. Khoa toán của Bắc Đại là rất nổi tiếng, được tuyển vào đó là vinh dự lớn, và có cơ hội phát triển tốt.

Hong Wang nhận bằng cử nhân toán học tại Bắc Đại vào năm 2011. Sau đó, cô chuyển đến Pháp, lúc chưa biết một chữ Pháp là gì, nhưng chỉ ba năm sau, cô tốt nghiệp Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique, khóa X2010) và nhận bằng thạc sĩ toán học tại Đại học Paris-Saclay vào năm 2014. Con đường cô ngày càng mở rộng từ đó.

Năm 2014, cô được chuyển đến MIT làm nghiên cứu sinh tiến sĩ, dưới sự hướng dẫn của Larry Guth, người dẫn dắt rất quan trọng cho sự nghiệp cô, và cô đã hoàn thành luận án tiến sĩ (có tựa đề “A restriction estimate in R³”) năm 2019. Ở đây, cô bắt đầu nghiên cứu các bài toán thuộc lĩnh vực giải tích Fourier.

Từ 2019 đến 2021, Wang Hong làm việc tại Princeton với tư cách là nghiên cứu sinh sau tiến sĩ tại Viện Nghiên cứu Cao cấp (Institute for Advanced Study). Lĩnh vực trọng tâm: “Giải tích Fourier và các mối liên hệ với các bài toán hình học”.

Tháng 7 năm 2021, Wang Hong chuyển đến Đại học California, Los Angeles (UCLA), đảm nhiệm vị trí Giáo sư hỗ trợ tại Khoa Toán học của UCLA. Cô làm việc đúng hai năm, từ 2021 đến 2023, trước khi chuyển sang Đại học New York (NYU).

Sau khi hoàn thành chương trình nghiên cứu sau tiến sĩ tại Viện Nghiên cứu Cao cấp (Institute for Advanced Study) ở Princeton, cô trở thành Giáo sư Trợ lý tại UCLA vào năm 2021. Năm 2023 cô gia nhập Viện Courant của NYU.

Năm 2022, Wang Hong đã được trao Giải thưởng Maryam Mirzakhani New Frontiers nhờ những “tiến bộ trong các bài toán: giả thuyết hạn chế (Fourier restriction conjecture, lúc cô làm luận án tiến sĩ), giả thuyết làm trơn cục bộ (local smoothing conjecture, thực hiện với Larry Guth và Ruixiang Zhang năm 2019), và các vấn đề liên quan.” Từ đó, và nhất là sau khi cô và nhà toán học Josua Zahl giải được bài toán Kakeya ba chiều, cô nhận được loạt phần thưởng danh giá:

Frontier of Science Award (2023, 2025)

Antonio Ambrosetti Medal (2025)

Ostrowski Prize (2025)

Salem Prize (2025)

International Congress of Chinese Mathematicians Gold Medal of Mathematics (2025)

Association for Women in Mathematics Sadosky Research Prize in Analysis (2026)

New Horizons in Mathematics Prize (2026)

Clay Research Award (2026)

Thành tựu cốt lõi đưa cô đến bục vinh quang là bài nghiên cứu dài 127 trang do cô đồng tác giả cùng Giáo sư Joshua Zahl thuộc Đại học British Columbia (Canada), được công bố vào tháng 2 năm 2025 với tiêu đề: “A Rigorous Proof of the 3-D Kakeya Conjecture” (Chứng minh chặt chẽ về Giả thuyết Kakeya trong không gian 3 chiều). Ông Emmanuel Ullmo, Giám đốc Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp (IHES), nhận định rằng đây là một kết quả mang ý nghĩa quan trọng, đủ sức định hình lại cục diện của toàn bộ lĩnh vực nghiên cứu này.

(II)

Giả thuyết Kakeya (1917)

 

Wang Hong đang thuyết giảng tại Hội nghị Modern Trends in Fourier Analysis ở Centre de Recerca Matemàtica, 2025

Giả thuyết Kakeya bắt nguồn từ một câu hỏi do nhà toán học Nhật Bản Sōichi Kakeya đặt ra vào năm 1917: liệu một chiếc kim (hay đoạn thẳng) có thể xoay theo mọi hướng để quét qua một vùng không gian có thể tích nhỏ tùy ý hay không? Giả thuyết Kakeya trong mặt phẳng không quá khó. Vào những năm 1970, Davies và sau đó là Córdoba đã đưa ra hai chứng minh rất khác nhau cho thấy mọi tập Kakeya phẳng đều có số chiều bằng 2. Bài toán trong không gian ba chiều tuy nhiên khó hơn nhiều.

Sōichi Kakeya (1886 – 1947), người đưa ra giả thuyết lúc mới 31 tuổi. Nhật Bản là quốc gia ngoài phương Tây có nhiều đóng góp quan trọng cho toán học hiện đại.Xem thêm: https://rosetta.vn/nguyenxuanxanh/yutaka-taniyama-va-thoi-dai-cua-anh/.

Trong suốt 50 năm qua, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu Giả thuyết Kakeya trong không gian ba chiều (và cả các chiều lớn hơn). Qua những nỗ lực đó, người ta đã phát hiện ra những mối liên hệ sâu sắc giữa bài toán này với các vấn đề thuộc lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng (PDE), tổ hợp số học, lý thuyết số, và nhiều lĩnh vực khác. Các kết quả từng phần về Giả thuyết Kakeya đã dẫn đến những bước đột phá ngoạn mục trong việc giải quyết các bài toán khác. Một ví dụ đặc biệt ấn tượng là lý thuyết Kakeya đa tuyến tính của Bennett, Carbery và Tao đã dẫn đến việc giải quyết giả thuyết chính tồn tại từ lâu trong định lý giá trị trung bình Vinogradov thuộc lĩnh vực lý thuyết số giải tích.

Thầy của Wang, Larry Guth nhớ lại: “Khi còn là một nhà toán học trẻ và bắt đầu hứng thú với bài toán Kakeya, tôi thấy nó có vẻ đơn giản và mang tính hình học đến mức tôi thực sự ngạc nhiên khi biết nó lại khó giải quyết đến vậy.” Nhiều năm sau, Wang – nghiên cứu sinh của ông – cũng bị thu hút bởi chính sự đơn giản đầy đánh lừa ấy. “Bạn có thể hình dung cụ thể về các đối tượng trong bài toán này. Nó không quá đáng sợ như các lý thuyết toán học khác,” Wang nói. Nhưng “Tôi chỉ muốn hiểu tại sao nó lại khó đến thế.”

Joshua Zahl, nhà toán học tại Đại học British Columbia (Canada), đồng tác giả của chứng minh. (Paul Joseph)

Năm 2025, Wang Hong và Josua Zahl cuối cùng đạt được kết quả đột phá và tầm cỡ sau khi đã chứng minh rằng trong không gian ba chiều, bất kỳ tập hợp Kakeya nào như vậy cũng phải có số chiều Hausdorff và số chiều Minkowski đúng bằng 3. Nói cách khác: tập hợp đó có thể mỏng, nhưng không thể nhỏ bé về mặt thể tích. Chúng ta có thể phát biểu:

Định lý. Bất cứ tập hợp Kakeya K⊆ℝ³ đều có thứ nguyên 3. 

Thứ nguyên (dimensions) được hiểu là số chiều Minkowski hoặc số chiều Hausdorff.

Công trình của Wang – Zahl phản ánh một sự chuyển dịch rộng hơn trong lĩnh vực giải tích điều hòa, kết hợp sự am hiểu sâu sắc về hình học với các công cụ giải tích mạnh mẽ. Nets Katz, chuyên gia tập hợp Kakeya tại Đại học Rice, nhận định, lời giải cho giả thuyết Kakeya là một thành tựu hiếm có trong thế kỷ, và Wang đã đóng vai trò then chốt trong thành tựu đó. “Tôi thực sự tin rằng từ đây sẽ nảy sinh một khối lượng ý tưởng đủ lớn để tạo ra cuộc cách mạng cho toàn bộ lĩnh vực này,” Jonathan Hickman nhà toán học ở Đại học Edinburgh, nhận định. “Đây thực sự là một giai đoạn vô cùng thú vị.”

Xem thêm tư liệu:

  1. Kakeya set: https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set 

  2. The Kakeya Conjecture: where does it come from and why is it important?: https://arxiv.org/html/2512.09842v1

  3. New Proof Threads the Needle on a Sticky Geometry Problem: https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

  4. ‘Once in a Century’ Proof Settles Math’s Kakeya Conjecture: https://www.quantamagazine.org/once-in-a-century-proof-settles-maths-kakeya-conjecture-20250314/

(III)

Qua bài viết dưới đây của nữ tác giả Natalie Wolchover, tạp chí Quanta Magazine, chúng ta có thể theo dõi sự phát triển của Vương Hồng từ con người tương đối bình thường đến lúc cô trở thành “thiên tài toán học” – một cách tự nhiên. Từ thời trung học, cô không nằm trong danh sách các trung tâm luyện thi Olympic, có lẽ vì bố mẹ cô mong muốn cô có một “cuộc sống và phát triển bình thường”. Cha mẹ cô không bao giờ gây áp lực học tập quá mức lên cô. Sau giờ học, Hong Wang thường đọc thần thoại Hy Lạp, Harry Potter và Chúa tể những chiếc nhẫn, chơi bóng bàn và cầu lông; còn vào buổi tối, cả gia đình thường cùng nhau đi dạo giữa khung cảnh núi đá vôi đặc trưng của Quế Lâm.

Những cuộc đi dạo được tiếp tục trong đời cô là những giờ phút giải stress, làm cho đầu óc cô thoáng đạt, tập trung năng lượng mới, và mài dũa cái nhìn. Nó có các dụng như một cử thiền.

Đam mê toán học đã thu hút cô ra khỏi thế giới thế tục trước mặt của người phàm để sống trong thế giới trầm tư về những vấn đề toán học trừu tượng. Cô được biết có ích thú vui của người thế gian. Thú vui của cô là tương tác với và trầm tư về những đối tượng toán học. Cogito ergo sum. Sức mạnh của trầm tư đã làm cho những lớp che chắn tầm nhìn lần lược sụp đổ, mở ra những cánh cửa mới của ánh sáng. Sự bền chí, óc tưởng tượng mạnh mẽ và sự làm chủ các kỹ thuật toán mới mẻ phức tạp, đã thay đổi tất cả. Cô không màn ai đó nhanh hơn cô, không sao, cô nói, “it doesn’t matter”. Cô không chạy đua với người khác. Tinh thần này giống tinh thần của Albert Einstein.

Đọc bài viết của Natalie Wolchover ta có thể thấy, nền toán học phương Tây vẫn còn cực kỳ mạnh mẽ và sôi động tại các trung tâm đại học và viện nghiên cứu. Wang nhấn mạnh giá trị của những dịp gặp gỡ tại các hội nghị. “Bạn nắm bắt được những gì đang diễn ra trong lĩnh vực này, có những cuộc trò chuyện ngẫu hứng và gặp gỡ các cộng sự tiềm năng; đó là một phần cốt yếu của công việc nghiên cứu toán học,” cô chia sẻ. “Những khoảnh khắc như thế này không bao giờ là thành quả của riêng một cá nhân. Chúng là kết tinh của nhiều năm gặp gỡ tình cờ và những câu hỏi bất ngờ đã dẫn lối ta đi đúng hướng. Tôi vô cùng may mắn khi được sát cánh cùng những đồng nghiệp xuất sắc trong suốt chặng đường sự nghiệp của mình, và vinh dự này thuộc về họ cũng nhiều như thuộc về tôi sự tổng hợp của bao cuộc gặp gỡ, học hỏi từ bạn bè.” Một thái độ rất khiêm nhường và biết ơn. Dĩ nhiên, các trường, viện mà Wang và Deng đã đi qua, cũng đều hết sức hãnh diện về sự đóng góp của họ.

Phương Tây không những vẫn là trung tâm học thuật thế giới, mà còn là môi trường nuôi dưỡng và phát triển tài năng tốt nhất, về vật chất lẫn tinh thần, về tự do tư biện như một mạng lưới viện hàn lâm Plato khổng lồ. Có nhiều người hỏi: Nếu những tài năng như Wang Hong và Deng Yu, tiếp tục ở lại nghiên cứu tại Trung Quốc, thì họ có cơ may phát huy tài năng rực rỡ để được trao giải Fields hay không? Shing-Tung Yau từng nỗ lực hết sức để nâng cao năng lực sáng tạo của các nhà toán học Trung Quốc trong nước, nhưng đến nay chưa thành công mấy. Cả hai, Yang Hong và Deng Yu, trong những phát biểu của mình trong lễ trao giải, như người ta ghi nhận, đều không nhắc tới Bắc Đại. Có lẽ họ tự cảm nhận sự khác biệt giữa học thuật Trung Quốc và phương Tây thật hết sức to lớn làm cho trọng tâm của sự phát triển đối với họ hầu như hoàn toàn nằm tại các trường, viện phương Tây. Mạng lưới đó có nhiều bậc thầy dẫn dắt, đồng nghiệp học thuật để tương tác, cộng tác, nhà nghiên cứu hưởng được một chế độ quản trị hết sức cởi mở trong khoa học, được hỗ trợ bởi các quỹ tư nhân nhân ái, cuộc sống được hoàn toàn bảo đảm. Con người ở đó được trao quyền tự do, và được tin tưởng. Một nền học thuật muốn phát đại cần có điều kiện cuộc sống được bảo đảm, là nơi giao lưu của nhiều luồng văn hóa thế giới, và nhất là có đầy đủ tự do học thuật. Đó chính là những điều kiện mà Melitus ở vùng đất Ionia của Hy Lạp đã từng có để phát triển học thuật đầu tiên của thế giới hai nghìn sáu trăm năm trước. Châu Ậu đã luôn luôn hội đủ những yếu tố đó trong suốt sự phát triển của mình.

Tuy thế, môi trường phương Tây không phải hoàn toàn lý tưởng và hoàn hảo. Nó vẫn gây sức ép lên các nhà khoa học rất lớn: “Publish or Perish” là “châm ngôn” cũng rất đáng sợ. Einstein rất ý thức điều đó, và thường khuyên các nhà vật lý trẻ, rằng họ nên tìm một việc làm bảo đảm được cuộc sống nhưng vẫn còn dư thời giờ để theo đuổi nghiên cứu khoa học của mình, giống như bản thân ông từng làm việc nhiều năm ở Sở cấp bằng sáng chế mà vẫn còn thì giờ để làm nghiên cứu cho đến khi ông thăng hoa.

Mặc dù thế, hiện tại không có môi trường học thuật nào tốt hơn môi trường phương Tây.

(IV)

Hai nền văn minh Đông, Tây khác nhau rất căn bản. Một bên dựa trên tính khoa học, tự do, đổi mới sáng tạo và một bên dựa trên nho giáo như một ý thức hệ duy nhất. Đầu thiên niên kỷ thứ hai, phương Tây xây dựng mạng lưới đại học đượm tinh thần lý tính, khoa học, triết học, tìm tòi, tư biện. Một cuộc dịch thuật vĩ đại diễn ra của những tác phẩm Hy lạp, và Ả rập, kéo dài cả hai trăm năm. Trung Hoa cùng lúc đó cũng xây dựng đại học, nhưng lấy Tứ thư Ngũ kinh làm nền tảng. Đó là sự khác biệt.

Phương Tây chịu ảnh hưởng to lớn của tôn giáo, nhưng đã thoát ra khỏi sự ràng buộc giáo điều, kinh viện, để cuối cùng có khoa học hiện đại thế kỷ XVII. Phương Đông vẫn sống với nho giáo cho đến khi các đế chế sụp đổ.

Khoa học Hy lạp cổ đại đã thâm nhập vào châu Âu thông qua giáo dục khai phóng (liberal education). Đây là giáo dục bao gồm nội dung căn bản của bảy môn học khai phóng: ngữ pháp, logic (biện chứng), hùng biện, họp thành trivium, và số học, hình học, âm nhạc và thiên văn học họp thành quadrivium. Giáo dục này đã tồn tại từ thời Hy lạp cổ đại, giúp con người biết tư duy, lý luận, tiếp thu khoa học, có tư duy phản biện, biết nhận thức, điều kiện để học tiếp cao hơn. Giáo dục đó là cảnh cửa mở vào con đường khoa học, và học thuật nói chung.

Mấy thập niên qua, Trung Quốc đã nỗ lực cải cách và nâng cấp các đại học hàng đầu của họ hy vọng ngang bằng với các đại học Mỹ và phương Tây. Dưới thời Tổng bí thư Giang Trạch Dân, họ đã triển khai hai chương trình trọng điểm là Dự án 211 (từ năm 1995) và Dự án 985 (từ tháng 5 năm 1998) với tổng nguồn vốn đầu tư ban đầu ước tính khoảng hơn 4 tỷ USD từ ngân sách trung ương và địa phương cho giai đoạn đầu, sau đó tiếp tục được rót thêm hàng chục tỷ nhân dân tệ trong các giai đoạn tiếp theo. Họ xem đại học là động lực của đổi mới sáng tạo không thể thiếu. Cánh cửa đại học mở rộng để đón tiếp học giả phương Tây. Một dòng thác nhà khoa học phương Tây đã đổ về các đại học Trung Quốc. Theo thống kê chính thức, con số này lên tới khoảng 18.000. Chương trình “Ngàn nhân tài”: đã thu hút hơn 7.000 nhà nghiên cứu và khoa học đỉnh cao trong giai đoạn 2011 đến năm 2017, bao gồm hàng chục nhà khoa học phương Tây giải Nobel. Thât ra, không phải mới. Nhật Bản thời Minh Trị cũng đã từng làm như thế để xây dựng hệ thống đại học, nghiên cứu của họ.

Tuy nhiên, cách quản trị đại học và con người, tính minh bạch, liêm chính, không khí tự do học thuật chưa giống truyền thống phương Tây. Bản thân Shing-Tung Yau, người vô cùng nhiệt tình với quê hương ông, được giới lãnh đạo cấp cao đón tiếp nồng hậu và nhà nước huy động được nguồn lực to lớn để xây dựng các cơ sở nghiên cứu đẳng cấp, như “Trung tâm Khoa học Toán học Yau” tại Đại học Thanh Hoa – nơi ông chuyển đến làm việc toàn thời gian. Ông đã đào tạo và dẫn dắt thành công nhiều nhà toán học xuất sắc của Trung Quốc. Nhưng ông cũng có những cuộc tranh cãi gay gắt công khai với các cơ sở nghiên cứu trong nước, tiêu biểu là Đại học Bắc Kinh, khi chỉ trích tình trạng “khép kín mang tính quan liêu, nạn bè phái và sự thiếu minh bạch trong quy trình bình duyệt”. Ông công khai nhận định rằng nghiên cứu toán học của Trung Quốc còn “thua kém so với các chuẩn mực lịch sử của phương Tây”.

Tờ TIMES Anh quốc ghi lại, khi được phỏng vấn cho tài khoản mạng xã hội của khoa Toán Đại học Bắc Kinh, Deng Yu cho biết ông khuyên tất cả các học giả nên có “ít nhất một trải nghiệm du học toàn diện trong suốt sự nghiệp học thuật của mình”. Đoạn văn này sau đó đã bị xóa.

(V)

Trong đền thờ toán học nữ có thêm tên tuổi Wang Hong như một icon, bên cạnh những thiên tài khác như Hypatia của Alexandria Hy lạp hóa (khoảng 360-415 sau CN), nhà toán học nữa người Mỹ gốc Ba Tư Maryam Mirzakhani (Fields, 2014), Maryna Viazovska của Ukraina (Fields, 2022), và nhiều nhà nữ toán học khác của thế giới Claire Voisin (Giải Shaw, 2017, Giải Crafoord, 2024), Karen Uhlenbeck (Giải Abel, 2019), Ingrid Daubechies người Bỉ (Giải Wolf, 2023).

Ngoài ra lịch sử có hai nhà toán học quan trọng nữa: Sophie Germain của Pháp, Sofia Kovalevskaja của Nga thế kỷ XIX, và Emmy Noether của Đức nửa đầu thế kỷ XX.

       

Hypatia và Emmy Noether

    

Maryam Mirzakhani và Maryna Viazovska

(VI)

Câu chuyện của Wang Hong là minh chứng tuyệt vời cho sự kiên trì bền bỉ trong sự lặng lẽ, với khả năng tập trung cao độ, và việc cô vươn lên khỏi những sự ồn ào của cuộc sống để nhìn thấy ánh sáng để theo đuổi toán học và cống hiến.

Einstein có phát biểu về triết lý của những người chọn lối sống sống thuần khiết dành cho khoa học trong bài điếu văn cho Emmy Noether mất năm 1935 như sau:

Những nỗ lực của phần lớn con người được tiêu pha vào sự chiến đấu cho miếng ăn hàng ngày, nhưng phần lớn những ai, hoặc bằng sự may mắn, hay một đặc ân trời cho, được làm nhẹ bớt trong cuộc chiến đấu, bị thu hút vào sự cải thiện tiếp tục số phận họ trên thế gian. Dưới những nỗ lực hướng về sự tích lũy các tài sản thế gian thường là ảo tưởng cho rằng đó là cứu cánh quan trọng và đáng mong mỏi nhất; nhưng may mắn thay, có một thiểu số gồm những người sớm nhận thức trong đời họ rằng những trải nghiệm đẹp đẽ và làm hài lòng nhất mở ra cho nhân loại không phải xuất phát từ bên ngoài, mà gắn liền với sự phát triển của cảm xúc riêng cá nhân, suy nghĩ và hành động. Những nhà nghệ sĩ, nhà nghiên cứu, hay nhà tư tưởng đích thực luôn luôn là những người loại này. Cuộc đời của những cá nhân này, dù diễn ra âm thầm thế nào, những thành quả của nỗ lực họ là những đóng góp quý báu nhất mà một thế hệ có thể xem như di sản của những người nối nghiệp của nó.

(Trong Kỷ niệm 100 năm định lý Emmy Noether)

Những điều đó cũng có thể áp dụng cho Wang Hong. Tại sao có những người thành công lớn, với những giá trị trí tuệ lớn? Bàn về sự thành công của người Do Thái, Einstein đưa ra quan điểm: thông minh là ít, mà văn hóa – văn hóa biết ngưỡng mộ những giá trị cao – là nhiều. Ông viết:

Nét đặc trưng thứ hai của truyền thống Do Thái là sự đánh giá cao mọi loại khát vọng trí tuệ và lao động tinh thần. Chính do sự trân quý này mà theo tôi những người Do Thái đã đóng góp vào tất cả những tiến bộ của nhận thức trí thức theo nghĩa rộng nhất của từ trên một quy mô mà, nếu chú ý đến số lượng tương đối nhỏ và những trở ngại bên ngoài đáng kể họ phải đối mặt, những thứ không ngừng là lực cản trên con đường họ khắp mọi nơi, rất xứng đáng với sự công nhận của tất cả những người chân thật. Tôi tin rằng điều này không phải do một sự giàu có các tài năng thiên phú nào, mà do sự thật rằng sự trân quý thành tựu tinh thần ở những người Do Thái đã tạo ra một bầu không khí làm thuận lợi đặc biệt cho sự phát triển của các tài năng có thể có. Đồng thời, óc phê phán mạnh mẽ của họ giúp ngăn ngừa sự chạy theo bất cứ một quyền uy nào một cách mù quáng. (nghiêng được thêm vào)

(Einstein, 1938, trong sách Từ những năm sau của đời tôi, 2025)

Nguyễn Xuân Xanh

⭐ ⭐⭐

“SỐNG TRỌN VẸN TRONG THẾ GIỚI TOÁN HỌC LÀ BƯỚC ĐI TRÊN LẰN RANH MONG MANH”

Tác giả: Natalie Wolchover

 

Trong bức ảnh này, Vương Hồng đang viết một bài báo nghiên cứu mới tại Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp (IHES) ở Pháp. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Sự tập trung, dấn thân và trực quan sắc bén đã mang lại một chứng minh “trăm năm có một”. Vương Hồng (Hong Wang) giờ đây là người phụ nữ thứ ba giành được Huy chương Fields trong suốt lịch sử 90 năm của giải thưởng danh giá này.

Người ta có thể tưởng tượng rằng, đối với một nhà toán học, việc chứng minh được một định lý vĩ đại là một trải nghiệm ngập tràn hạnh phúc. Nhưng với Vương Hồng, mọi chuyện lại không hẳn như vậy. Vào tháng 2 năm 2025, Vương Hồng cùng cộng sự Joshua Zahl đã công bố một bản chứng minh dài 127 trang cho một giả thuyết đã tồn tại từ lâu, nằm ở giao điểm của nhiều nhánh toán học. Hai người đã dành nhiều tháng kiểm tra kỹ lưỡng công trình của mình, đồng thời gửi bản thảo cho một số đồng nghiệp tin cậy xem trước, rồi mới có đủ dũng khí để công bố. Điều khiến Vương Hồng lo lắng không phải là các lập luận có sai sót, mà là chúng có thể chưa được diễn đạt thật hoàn hảo, và vì thế chưa đủ rõ ràng.

Không có sai sót nào được phát hiện; lập luận trong bản chứng minh dần được hiểu thấu đáo và được trình bày lại một cách mạch lạc hơn, cho đến khi mọi người đều tin tưởng vào tính đúng đắn của nó. Vương Hồng và Zahl đã chứng minh được giả thuyết Kakeya trong không gian ba chiều.

Bản chứng minh này đã mang về cho Vương Hồng, nhà toán học đến từ Quế Lâm, Trung Quốc, một chuỗi các giải thưởng liên tiếp: Giải Salem, Giải Ostrowski và Huy chương Vàng Toán học của Đại hội Quốc tế các Nhà Toán học Trung Quốc trong năm 2025; Huy chương Antonio Ambrosetti, Giải Sadosky, Giải Nghiên cứu Clay và Giải New Horizons in Mathematics trong nửa đầu năm 2026; và cuối cùng là Huy chương Fields 2026, được xem là cao quý nhất trong lĩnh vực toán học, dành cho những nhà toán học dưới 40 tuổi có những thành tựu xuất sắc. Ở tuổi 35, Vương Hồng – giáo sư toán học tại Đại học New York (NYU) và Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp (IHES) của Pháp – là người phụ nữ thứ ba trong lịch sử 90 năm của giải Fields được nhận Huy chương này.

Sự nổi tiếng cũng đồng nghĩa với việc Vương Hồng ngày càng nhận được nhiều lời mời mà cô khó lòng từ chối: các buổi thuyết trình, các chuyến đi và các cuộc phỏng vấn. Những việc này lấn át quỹ thời gian mà cô có thể dành cho nghiên cứu cách những ống (tubes) dài và mảnh, hướng theo các phương khác nhau, có thể chồng lấn lên nhau như thế nào.

Những cuộc đi bộ lúc sáng sớm giúp Vương Hồng giải tỏa bớt áp lực và sự hoài nghi về bản thân vốn luôn đi kèm với công việc nghiên cứu toán học. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Đó chính là vấn đề cốt lõi của các bài toán dạng Kakeya – lĩnh vực chuyên môn của Vương Hồng. Đây là một nhóm các bài toán và giả thuyết toán học nằm ngay tại giao điểm của ba lĩnh vực lớn, bao gồm giải tích điều hòa (nghiên cứu cách tín hiệu phân giải thành các tần số cấu thành), lý thuyết độ đo hình học (nghiên cứu hình dạng và kích thước của các đối tượng không nhẵn), và phương trình đạo hàm riêng (mô tả những hệ thống biến đổi đồng thời theo nhiều cách khác nhau). Bên cạnh đó, lĩnh vực này còn có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết số, toán tổ hợp, và nhiều ngành toán học khác. Nhà toán học Pablo Shmerkin, Đại học British Columbia (Canada) nhận xét: “Chính tất cả những mối liên hệ đó đã khiến cho lĩnh vực này được xem là giữ vị trí trung tâm của toán học, đồng thời cũng là lý do vì sao Vương Hồng được đánh giá cao đến vậy.”

Khi không phải bận rộn với những chuyến đi, Vương Hồng làm việc với sự tận tụy và kỷ luật chẳng khác nào một nữ tu dòng kín hoặc một vận động viên đỉnh cao. Shukun Wu, cộng sự của cô tại Đại học Indiana, nhận xét: “Cô ấy mê toán đến cuồng nhiệt. Cô ấy chắc chắn là một trong những người tận tâm nhất mà tôi từng gặp.” Vương Hồng khước từ việc dành thời gian cho những thú vui dễ ngốn thời gian như đọc sách hay nuôi thú cưng, mặc dù cô vẫn luôn dành thời gian cho bạn bè, tập yoga và đi bộ lúc sáng sớm để ngắm những chú chó ở Công viên Washington Square. Tất cả những hoạt động này giúp cô giảm bớt căng thẳng cũng như cảm giác hoài nghi bản thân vốn luôn đồng hành với công việc nghiên cứu toán học.

Khao khát có được sự tự tin vào kiến thức và năng lực của bản thân dường như đã định hình cuộc đời Vương Hồng. Chẳng hạn như, chính điều đó đã thu hút cô đến với toán học: lĩnh vực mà với cô là ít có chỗ cho sự hoài nghi nhất. Dù cô chưa bao giờ dành thời gian để ăn mừng chứng minh mang ý nghĩa cột mốc của mình, cũng như không hề cảm thấy hãnh diện hơn về bản thân sau thành tựu đó, ít nhất giờ đây Vương Hồng có thể khẳng định với sự chắc chắn tuyệt đối rằng các ống ướng theo mọi phương trong không gian ba chiều không thể chồng lấn lên nhau quá nhiều.

Muôn vàn điều kỳ diệu

Ban đầu còn đôi chút dè dặt nhưng rồi nhanh chóng trở nên cởi mở hơn, Vương Hồng đeo cặp kính gọng panto vân đồi mồi và đeo nhẫn ở cả hai ngón trỏ. Chiếc nhẫn bạc ở tay trái và chiếc nhẫn vàng ở tay phải thỉnh thoảng lại xuất hiện trong khung hình cuộc gọi video. Từ Bờ Tây nước Mỹ, nơi cô dành vài tháng để ghé thăm các cộng sự và bạn bè, Vương Hồng kể rằng những năm đầu đời của mình trôi qua khá vô tư.

Ở thành phố Quế Lâm vào những năm 1990, sau giờ học Vương Hồng thường về nhà đọc sách (từ thần thoại Hy Lạp, Harry Potter đến Chúa tể những chiếc nhẫn), xem truyền hình hoặc chơi bóng bàn và cầu lông. Dù đều là giáo viên, cha mẹ cô không hề gây áp lực về thành tích học tập. Mỗi tối, cả gia đình cô cùng nhau đi dạo quanh Quế Lâm, thường được mệnh danh là thành phố đẹp nhất Trung Quốc, với những ngọn núi xanh biếc dốc đứng bao quanh và một dòng sông uốn lượn chảy qua.

Khi còn nhỏ ở Quế Lâm, toán học chỉ là một trong rất nhiều sở thích của Vương Hồng, nhưng cô đã sớm bộc lộ năng khiếu nổi bật với môn học này. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Cô nhớ có một câu đố ở cuối một chương sách như sau: Làm thế nào để trồng bảy cái cây thành nhiều hàng nhất có thể, với ba cây ở mỗi hàng? Cũng giống như các bài toán dạng Kakeya mà sau này cô theo đuổi, câu đố này thuộc lĩnh vực hình học liên thuộc (incidence geometry), hay là nghiên cứu cách các đối tượng hình học chồng lấp lên nhau — trong trường hợp này là các đường thẳng (những hàng cây) và các điểm (những cái cây). Vương Hồng nhanh chóng tìm ra lời giải: hãy trồng bảy cái cây theo hình tam giác đều, với một cây ở mỗi đỉnh, một cây ở trung tâm điểm của mỗi cạnh và cây thứ bảy ở chính giữa tam giác. Cách sắp xếp này tạo ra sáu hàng, mỗi hàng gồm đúng ba cây: ba hàng theo ba cạnh của tam giác và ba hàng đi qua tâm. Cô đã tìm ra đáp án còn nhanh hơn cả cha mình, vốn là một giáo viên dạy toán. Khi đó, Vương Hồng mới 6 tuổi.

Vương Hồng dần yêu thích toán học vì tính bất biến của nó. Lịch sử luôn có thể được viết lại; còn việc học tiếng Anh khiến cô nản lòng vì trong ngôn ngữ này dường các ngoại lệ cũng nhiều không kém gì các quy tắc. Chỉ có các định lý toán học tỏ ra đáng tin cậy. “Chẳng ai có thể đến và nói: ‘Ồ, thực ra điều này không đúng đâu'” cô nói.

“Tôi đã gửi email cho cô ấy và chỉ viết: ‘Wow.'” (Jonathan Hickman)

Vương Hồng kể rằng cả cha lẫn mẹ đều mong cô có một cuộc sống bình thường nhất có thể. Nhưng bản thân cô chỉ muốn học được càng nhiều càng tốt, vì thế cô đã học nhảy vài lớp.

Đến cuối cấp hai, điểm số bắt đầu trở thành yếu tố quyết định để được nhận vào một trường trung học tốt ở Quế Lâm. Vương Hồng đặt mục tiêu theo học ngành Toán tại Đại học Bắc Kinh (Bắc Đại), một trong những trường đại học danh giá nhất Trung Quốc. Theo cô, vào năm 2007, khoa Toán của Bắc Đại chỉ dành một chỉ tiêu tuyển sinh duy nhất cho học sinh đến từ tỉnh của cô, dựa trên kết quả của một kỳ thi chuẩn hóa. Đáng tiếc là Vương Hồng không phải là người đạt điểm cao nhất.

Tuy nhiên, cô vẫn đạt kết quả đủ tốt để trúng tuyển vào chuyên ngành Khoa học Trái Đất của Trường và cô hy vọng có thể chuyển sang ngành Toán sau khi nhập học. Giáo sư địa vật lý của cô đã động viên cô, khẳng định tầm quan trọng của toán học đối với khoa học, chẳng hạn như cách sóng địa chấn được sử dụng để lập bản đồ cấu trúc bên trong Trái Đất (trên thực tế, đây cũng là thứ toán học có liên quan đến bài toán Kakeya, mặc dù lúc đó Vương Hồng chưa hề hay biết). Cô đã rất nỗ lực học tập và cuối cùng cũng được chấp thuận chuyển ngành. Vương Hồng nhớ lại một nhận xét tình cờ của cha cô rằng giải tích, ngành nghiên cứu các đại lượng biến thiên, giới hạn, độ đo và phép xấp xỉ, dễ hơn nhiều so với đại số, vốn xoay quanh các phương trình ký hiệu và những nghiệm chính xác. Vương Hồng đã “nổi loạn” bằng cách tập trung vào đại số.

Khi du học tại Pháp, Vương Hồng từng có một khoảng thời gian ngắn chuyển sang học ngành kiến trúc. Tuy nhiên, sức hấp dẫn của toán học đã kéo cô trở lại với giải tích. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Điểm số của Vương Hồng không nằm trong nhóm cao nhất và cô đã từng hoài nghi liệu mình có thể được nhận vào chương trình sau đại học hay không. Đúng lúc đó, đại diện của École Polytechnique, một trong những grandes écoles danh giá và tuyển sinh khắt khe nhất nước Pháp, đã đến Bắc Kinh tổ chức kỳ thi tuyển sinh cho chương trình sau cử nhân của trường. Năm 2011, Vương Hồng sang Pháp. Tất cả các môn học đều được giảng dạy bằng tiếng Pháp, một ngôn ngữ cô hoàn toàn không biết. May mắn thay, phần lớn kiến thức toán trong các môn học của học kỳ đầu tiên cô đều đã nắm vững. Trong các bữa ăn, cô ngồi cùng các bạn học nói tiếng Pháp, lặng lẽ lắng nghe, lịch sự nhờ giải thích và dần dần hiểu được nhiều hơn. Cô theo học các môn giải tích và nhận ra rằng lĩnh vực này đến với mình một cách tự nhiên hơn so với đại số.

Mặc dù đạt kết quả tốt ở các môn, Vương Hồng vẫn không tin rằng mình đủ giỏi để theo đuổi nghiên cứu toán học. Có một học kỳ, cô chuyển sang học kiến trúc và thực tập tại một công ty ở Paris. “Tôi không phải chịu quá nhiều áp lực,” cô nhớ lại. “Nhưng tôi không nhìn thấy mục tiêu của mình.” Cuối cùng, cô quyết tâm quay trở lại với toán học. “Tôi quyết định ngừng lo lắng liệu mình có đủ giỏi hay không, mà chỉ tập trung vào việc thấu hiểu vấn đề tốt hơn.”

Những tập hợp kỳ lạ

Vào năm 2013, trong thời gian thực tập nghiên cứu tại Viện Công nghệ Massachusetts (MIT), Vương Hồng tham dự một buổi hội thảo do nhà giải tích Larry Guth chủ trì. Guth đã trình bày về công trình mà ông vừa hoàn thành cùng nhà toán học Nets Katz, Đại học Rice, xoay quanh bài toán khoảng cách khác biệt của Erdős. Bài toán đặt ra câu hỏi: cho một tập hợp điểm hữu hạn bất kỳ trên mặt phẳng, có bao nhiêu khoảng cách khác nhau giữa các cặp điểm? Cách Guth giải thích vấn đề cũng như lời giải rõ ràng đến mức Vương Hồng cảm thấy mình có thể nắm bắt được một phần bản chứng minh, và điều đó đã tiếp thêm cho cô nguồn động lực mạnh mẽ. Cô cũng nhận ra rằng bài toán này có mối liên hệ mật thiết với nhiều bài toán khác có bản chất tương tự, với cốt lõi là hình học liên thuộc (incidence geometry). Năm sau, cô trúng tuyển vào chương trình tiến sĩ tại MIT và chọn Guth làm người hướng dẫn.

Các bài toán dạng Kakeya mà Vương Hồng theo đuổi có mối liên hệ mật thiết với giải tích điều hòa, lý thuyết độ đo hình học, phương trình đạo hàm riêng, cũng như lý thuyết số, tổ hợp học và nhiều lĩnh vực khác. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Về sau, chuyên môn của cô tập trung vào các bài toán dạng Kakeya. Nổi tiếng nhất trong nhóm này, đồng thời cũng là nền tảng mà nhiều bài toán khác phụ thuộc vào, là giả thuyết tập hợp Kakeya (Kakeya set conjecture). Đây là phiên bản hiện đại của một câu hỏi do nhà toán học Sōichi Kakeya, Đại học Tohoku nêu ra vào năm 1917. Ông tự hỏi: khi xoay một cây kim theo mọi hướng trên một mặt phẳng, diện tích nhỏ nhất mà cây kim quét qua là bao nhiêu? Nếu chỉ xoay cây kim quanh trung điểm của nó, vùng quét được sẽ là một hình tròn. Nhưng Kakeya nhận ra rằng, nếu vừa xoay vừa tịnh tiến cây kim — giống như một chiếc ô tô thực hiện cú quay đầu ba điểm — thì có thể giữ toàn bộ chuyển động của cây kim trong một vùng chỉ bằng khoảng một nửa diện tích hình tròn, tạo thành một hình gọi là deltoid (đường cong delta hoặc tam giác cong Steiner)

 

Vài năm sau, nhà toán học người Nga, sau này làm việc tại Cambridge, Abram Besicovitch đã chứng minh rằng kết quả còn có thể gây kinh ngạc hơn nhiều. Trong một phiên bản trừu tượng của bài toán, người ta có thể hướng cây kim theo mọi hướng mà không quét qua bất kỳ diện tích nào. Ở đây không còn cây kim chuyển động nữa, mà thay vào đó là một tập vô hạn các đoạn thẳng, mỗi đoạn ứng với một hướng mà cây kim có thể chỉ tới trên mặt phẳng. Tập hợp ấy được gọi là tập hợp Kakeya (Kakeya set). Nếu giữ nguyên hướng của từng đoạn thẳng nhưng cho phép tịnh tiến chúng, ta có thể sắp xếp chúng vào một vùng có diện tích ngày càng nhỏ. Besicovitch chứng minh rằng, trên thực tế, các đoạn thẳng ấy có thể được nén vào một tập hợp có diện tích bằng không. Nhưng điều đó được thực hiện như thế nào? Một tam giác đều cũng có thể chứa một tập hợp Kakeya, tương tự như hình deltoid nhưng có diện tích lớn hơn. Hãy hình dung cắt đôi tam giác ấy theo một đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm cạnh đáy, rồi tịnh tiến (không xoay) một nửa sao cho nó chồng lấn lên nửa còn lại nhiều nhất có thể.

Tiếp theo, lại cắt đôi mỗi nửa của tam giác ban đầu và tiếp tục tịnh tiến các phần vừa tạo ra để mức độ chồng lấn đạt lớn độ lớn nhất. Bằng cách đó, các đoạn thẳng lại được nén vào một vùng có diện tích nhỏ hơn nữa.

Lặp đi lặp lại quy trình này đến vô hạn, liên tục trượt các đoạn thẳng qua lại theo một kỹ thuật hình học gọi là khớp nối Pál (Pál joint), rồi xoay tam giác để lặp lại quy trình từ mỗi đỉnh. Ghép tất cả các kết quả lại, ta sẽ thu được một tập hợp chứa các đoạn thẳng theo mọi hướng, nhưng có diện tích bằng không. Besicovitch còn chỉ ra rằng hiện tượng này cũng đúng trong không gian nhiều chiều hơn. Chẳng hạn, một tập hợp Kakeya gồm các đoạn thẳng hướng theo mọi phương trong không gian ba chiều vẫn có thể có thể tích bằng không.

Thế nhưng, dù không có diện tích hay thể tích, những tập hợp kỳ lạ đầy những “gai nhọn” này vẫn chiếm một phần không gian. Các đoạn thẳng trong tập hợp Kakeya không hề bị ép lại thành một đường thẳng một chiều; chúng vẫn hướng theo mọi hướng. Vấn đề đặt ra là: một tập hợp Kakeya thực sự chiếm bao nhiêu không gian? Nói theo ngôn ngữ toán học, câu hỏi ấy là: Một tập hợp Kakeya có bao nhiêu chiều?

Một phương pháp thực nghiệm để xác định số chiều của một vật thể là tưởng tượng phủ kín nó bằng những ô lập phương rất nhỏ có cùng kích thước, rồi đếm xem cần bao nhiêu ô. Số lượng ô cần dùng phụ thuộc vào kích thước của chúng, nhưng số chiều của đối tượng lại được xác định bởi cách số lượng ấy thay đổi khi kích thước các ô ngày càng nhỏ đi. Ví dụ, để phủ kín một đối tượng một chiều, chẳng hạn một đoạn thẳng, số ô cần dùng tỷ lệ với 1/r, trong đó r là bề rộng của mỗi ô. Đối với một đối tượng hai chiều, số ô tỷ lệ với 1/r². Đối với một đối tượng ba chiều, con số ấy là 1/r³. Và cứ tiếp tục như vậy.

Tuy nhiên, số mũ đó không phải lúc nào cũng trùng với số chiều quen thuộc của không gian mà vật thể tồn tại trong đó. Hãy lấy hình phân dạng (fractals) làm ví dụ — những đối tượng ngày càng bộc lộ nhiều chi tiết hơn khi ta phóng to, chẳng hạn đường cong Koch hay bông tuyết Koch. Trong những trường hợp này, các ô càng nhỏ thì càng có nhiều cấu trúc để chúng xếp dọc theo, do đó chúng tuân theo quy luật tỷ lệ khác biệt. Số mũ của r trở thành một phân số, phản ánh lượng cấu trúc mới xuất hiện khi ta phóng to hình ảnh. Do đó, các fractal như đường cong Koch hay bông tuyết Koch, với phần rìa có độ chi tiết vô hạn, nằm ở đâu đó giữa các số chiều nguyên.

Cốt lõi của giả thuyết tập hợp Kakeya là câu hỏi liệu những tập hợp này có thực sự chiếm trọn số chiều của không gian mà các đoạn thẳng trong đó hướng tới mọi phương hay không. Nói cách khác, liệu một tập hợp Kakeya gồm các đoạn thẳng hướng theo mọi phương trên mặt phẳng có phải là một vật thể 2D, còn một tập hợp Kakeya gồm các đoạn thẳng hướng theo mọi phương trong không gian có phải là một vật thể 3D, và tương tự như vậy đối với các số chiều cao hơn.

Theo nghĩa này, các tập hợp Kakeya có hành xử giống như những vật thể đặc, mặc dù Besicovitch đã chỉ ra rằng chúng hoàn toàn có thể không có diện tích hoặc thể tích. Không ai biết chính xác giả thuyết này được ai nêu ra đầu tiên hoặc xuất hiện từ khi nào. Tuy nhiên, vào năm 1971, nhà toán học người Anh Roy Davies đã chứng minh rằng giả thuyết đúng trong trường hợp 2D. Phiên bản tương ứng trong không gian ba chiều về sau được biết đến với tên gọi giả thuyết tập hợp Kakeya ba chiều (3D Kakeya set conjecture). Nếu giả thuyết này bị bác bỏ, điều đó sẽ có nghĩa rằng các đoạn thẳng trong một tập hợp Kakeya, dù vẫn hướng theo mọi phương, vẫn có thể được sắp xếp khéo léo đến mức tập hợp ấy hành xử giống một fractal hơn là một vật thể đặc — nghĩa là nó có số chiều nhỏ hơn số chiều của chính không gian mà nó tồn tại trong đó.

Do tập hợp Kakeya được tạo thành từ các đoạn thẳng, các nhà toán học đã hình dung những “chiếc hộp” dùng để đo số chiều như được kéo dài và ghép lại thành những ống dài, mảnh (long, thin tubes). Khi đó, câu hỏi trở thành: số lượng các ống cần để phủ kín một tập hợp Kakeya sẽ thay đổi như thế nào khi độ dày của các ống ngày càng nhỏ đi? Giả thuyết về tập hợp Kakeya khẳng định rằng quy luật thay đổi ấy giống hệt như đối với bất kỳ vật thể ba chiều thông thường nào. Ngược lại, nếu các tập hợp Kakeya chỉ chiếm một phần số chiều đầy đủ của không gian, thì ở những thang đo ngày càng nhỏ, người ta sẽ phát hiện ngày càng nhiều cấu trúc tinh vi hơn — tức ngày càng có nhiều đoạn thẳng tập trung dày đặc trong những vùng rất nhỏ.

Vương Hồng trò chuyện cùng nhà toán học Frank Merle trong lúc dùng trà. Trước khi chứng minh được giả thuyết tập hợp Kakeya trong không gian ba chiều, tên tuổi của cô ngày càng được biết đến qua một chuỗi các công trình hợp tác mang lại những kết quả tạo tiếng vang lớn. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Sự quan tâm đối với giả thuyết Kakeya ba chiều bùng nổ vào thập niên 1970, khi nhà toán học Charles Fefferman từ Đại học Princeton chứng minh được rằng nó có mối liên hệ mật thiết với một hiện tượng toán học mạnh mẽ mang tên phép biến đổi Fourier (Fourier transformation). Thông qua phép biến đổi này, bất kỳ tín hiệu hay hàm số nào cũng có thể được phân tích thành các sóng hình sin với đủ loại tần số và phương hướng khác nhau. Một trong những bài toán lớn chưa có lời giải của giải tích Fourier (hay còn gọi là giải tích điều hòa) chính là: điều gì sẽ xảy ra khi các sóng này đều có chung bước sóng nhưng lại lan truyền theo những phương khác nhau? Chuyện gì sẽ xảy ra với tín hiệu tổng hợp tại vùng chúng tương tác? Giả thuyết giới hạn Fourier (restriction conjecture) phỏng đoán rằng trong trường hợp đó, tín hiệu tổng hợp phải lan tỏa rất rộng trong không gian và có độ khuếch tán cao.  Do các tần số thành phần đều di chuyển theo những hướng lệch đi đôi chút, chúng không thể chồng lấn và giao thoa tăng cường với nhau đủ mạnh để tạo nên một sóng hay tín hiệu tập trung cao độ. Đây là một vấn đề có ý nghĩa quan trọng trong kỹ thuật xử lý tín hiệu và tạo ảnh.

“Có thể hình dung rằng mỗi sóng nằm trong một ống dài và mảnh,” Vương Hồng giải thích. Câu hỏi là: Liệu chúng có chồng lấn lên nhau nhiều, làm tập trung tín hiệu, hay không?

Một tình thế lắc léo (sticky situation, sticky mượn từ toán học Kakeya có nghĩa ‘dính”, sticky set, chơi chữ)

Vài năm sau khi đến MIT, Vương Hồng bắt đầu từng bước chinh phục những bài toán có họ hàng với bài toán Kakeya, cùng với Larry Guth và các cộng sự khác. Chỉ trong vòng một năm, họ đã giải được một trường hợp đặc biệt của bài toán khoảng cách Falconer, một biến thể hóc búa hơn của bài toán khoảng cách mà Guth từng giải với Nets Katz. Vương Hồng cũng đạt được những bước tiến quan trọng đối với giả thuyết giới hạn Fourier bằng cách định hình lại nó bằng ngôn ngữ hình học liên thuộc. Jonathan Hickman, nhà toán học tại Đại học Edinburgh, nhận xét: “Rất hiếm khi có ai đưa ra được điều gì mới mẻ về bài toán này, bởi nó quá khó. Vì vậy, việc một nghiên cứu sinh tiến sĩ lại làm được điều đó quả thật rất đáng kinh ngạc.”

“Tôi đã gửi email cho cô ấy và chỉ viết một từ: ‘Wow.'”

“Tôi quyết định không còn bận tâm liệu mình có đủ giỏi hay không, mà chỉ tập trung vào việc hiểu vấn đề ngày một sâu hơn,” Vương Hồng chia sẻ. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Pablo Shmerkin, nhà toán học từ Đại học British Columbia, người cũng đã từng nghiên cứu về bài toán khoảng cách Falconer, đã phát hiện ra tài năng của Vương Hồng trong một lần đến thăm Larry Guth tại MIT. Trong mắt ông, cô là một người giàu óc sáng tạo và có khả năng tiếp thu những kỹ thuật một cách nhanh chóng. Dù chỉ mới chuyển sang nghiên cứu hình học liên thuộc chưa lâu, cô dường như đã am hiểu lĩnh vực này một cách sâu sắc.

Lĩnh vực nghiên cứu này vốn đã sở hữu một kho công cụ phong phú và chẳng lâu sau, Vương Hồng còn đưa thêm vào đó nhiều phương pháp mới từ lý thuyết độ đo hình học, những kỹ thuật cô tiếp thu được trong quá trình hợp tác với Shmerkin về bài toán tập hợp khoảng cách Falconer. Cô đặc biệt được truyền cảm hứng từ phương pháp phân tích đa thang (multiscale analysis) của Shmerkin, một cách tiếp cận so sánh hiện tượng ở những thang đo khác nhau để từ đó tìm ra những mâu thuẫn. Shmerkin nói: “Cô ấy luôn rất tử tế và ghi nhận rằng một số ý tưởng bắt nguồn từ công trình của tôi, nhưng cô ấy có thể vận dụng chúng theo những cách tuyệt vời đến mức chính tôi cũng chưa từng hình dung ra.”

Danh tiếng của Vương Hồng tiếp tục vang xa khi vào năm 2019, cô cùng Larry Guth và Ruixiang Zhang từ Đại học California, Berkeley chứng minh được trường hợp hai chiều của giả thuyết làm mịn cục bộ (local smoothing conjecture), một trong những “Chén Thánh” của giải tích điều hòa. Giả thuyết này phát biểu rằng nghiệm của phương trình sóng không thể tập trung năng lượng trong một vùng không gian nhỏ trong một khoảng thời gian dài. Cũng trong năm đó, sau khi hoàn thành chương trình tiến sĩ, Vương Hồng chuyển đến thành phố Princeton, bang New Jersey, để làm nghiên cứu sau tiến sĩ tại Viện Nghiên cứu Cao cấp (Institute for Advanced Study). Ban đầu, cô lo rằng mình sẽ không thể tiếp tục thành công nếu thiếu sự đồng hành của Larry Guth. Thế nhưng, từng bước một, cô bắt đầu xây dựng những mối hợp tác nghiên cứu mới và tiếp tục đạt được nhiều bước tiến trong các bài toán dạng Kakeya. Các hội đồng tuyển dụng đã để mắt đến cô. Năm 2021, cô được bổ nhiệm làm giảng viên tại Đại học California, Los Angeles (UCLA) và vào năm 2023, cô trở thành phó giáo sư tại Đại học New York (NYU).

Chỉ một tháng sau khi chuyển đến NYU, Vương Hồng lại tạo nên một kết quả gây tiếng vang lớn. Cùng với Kevin Ren, cô đã chứng minh được giả thuyết tập hợp Furstenberg hai chiều (2D Furstenberg set conjecture), giả thuyết ước lượng số chiều của một tập hợp điểm trên mặt phẳng chứa một tập con của các đường thẳng hướng về mọi phía.

Mặc dù đạt được những thành công này, Vương Hồng vẫn cảm thấy mình như một “kẻ chiếu dưới”. “Mỗi lần thành công, tôi đều cảm thấy giống như nhờ vào may mắn,” cô chia sẻ về các chứng minh của mình. Chính tại Viện Nghiên cứu Cao cấp trong thời gian diễn ra đại dịch, Vương Hồng đã quyết định chuyển hướng sang giả thuyết tập hợp Kakeya ba chiều. Bài toán này đã thách thức biết bao nhà toán học suốt nhiều thập kỷ; nhiều bản chứng minh thậm chí từng được công bố rồi sau đó bị chỉ ra là sai lầm. “Tôi chưa bao giờ giải được giả thuyết Kakeya, nhưng có bốn hay năm lần tôi từng tưởng là mình đã làm được,” Guth chia sẻ. Lần nào cũng vậy, ông đều kịp phát hiện ra lỗi sai của mình trước khi công bố công trình.

Vương Hồng đã đọc một bài viết năm 2014 trên blog của nhà toán học Terence Tao (Đào Triết Hiên) từ Đại học California, Los Angeles (UCLA). Bài viết phác thảo một chiến lược chứng minh mà Tao và Katz từng phát triển nhưng chưa từng theo đuổi đến cùng. Nhận thấy cách tiếp cận này rất tiềm năng, cô đã liên hệ với Joshua Zahl, một nhà toán học từng nghiên cứu các khía cạnh của bài toán Kakeya trong luận văn của mình, khi đó đang làm việc tại Đại học British Columbia. Họ quyết định cùng nhau khám phá những gì Tao và Katz đã mô tả.

Chiến lược này — vốn đòi hỏi một “kho tàng” kỹ thuật khổng lồ — là chứng minh rằng bất kỳ phản ví dụ giả định nào cho giả thuyết (tức một cách tiềm năng để nén các đoạn thẳng hướng về mọi phía trong không gian 3D vào số chiều ít hơn 3) – đều phải sở hữu một cấu trúc chặt chẽ và tối ưu tới mức nó sẽ mâu thuẫn với các định lý chi phối sự tương tác giữa phép cộng và phép nhân. Phương pháp tiếp cận tổng quát này — đưa ra một phản ví dụ nhằm bác bỏ giả thuyết (muốn được chứng minh), rồi dẫn nó vào những mối bế tắc logic cho đến khi bạn kết luận rằng nó không thể tồn tại (nghĩa là giả thuyết là lựa chọn duy nhất đúng) — vốn là một chiến lược chứng minh rất phổ biến.

Bản chứng minh nổi tiếng cho giả thuyết tập hợp Kakeya 3D, hợp tác cùng Joshua Zahl, dài tới 127 trang và đòi hỏi một loạt công cụ toán học được áp dụng cực kỳ tinh tế. “Bạn có thể cảm thấy hoài nghi,” Wang nói, “nhưng đồng thời, lập luận đó lại mang đến cảm giác rất tự nhiên.” — Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Trong trường hợp này, Vương Hồng và Zahl tập trung vào cái gọi là các tập Kakeya “dính” (sticky Kakeya sets), bởi các đoạn thẳng trong các tập hợp này với định hướng tương tự nhau thì có xu hướng “dính” lại với nhau trong không gian. Những đoạn thẳng này bó sát vào nhau đủ chặt để các ống dày hơn có thể chứa chúng một cách tối ưu, khiến toàn bộ tập hợp có tiềm năng thể hiện tính chất tự đồng dạng phân hình (fractal scaling), thay vì vận hành như một vật thể 3D. Đầu tiên, họ đã chứng minh rằng các tập hợp dính không phải là những phản ví dụ; chúng rốt cuộc vẫn là vật thể 3D.

Nhưng vẫn còn nhiều việc phải làm. “Mọi người lúc đó không rõ liệu trường hợp ‘dính’ có thực sự là ‘kẻ thù chính’ hay không,” Zahl — người sở hữu diện mạo chỉnh chu và phong thái của một phi công chiến đấu — cho biết. Vì vậy, tiếp theo họ giả định một phản ví dụ tổng quát hơn: một tập hợp Kakeya có số chiều nhỏ hơn 3 (chẳng hạn là 3–x). Bằng cách phân tích số lượng các ống cắt qua một vùng hình cầu kích thước trung bình trong tập hợp đó, họ có thể chỉ ra rằng nó hoặc phải ở dạng “dính” (vốn đã được chứng minh là 3D), hoặc không “dính” — mà trường hợp không dính, theo chứng minh của họ, đồng nghĩa với việc nó phải có số chiều lớn hơn mức đã giả định là 3-x. “Vậy thì đằng nào chúng tôi cũng thắng,” Vương Hồng nói. Họ có thể lặp lại lập luận này cho các giá trị  ngày càng nhỏ dần, cho đến khi đi đến kết luận cuối cùng rằng mọi tập hợp Kakeya bắt buộc phải có 3 chiều.

Đầu năm 2024, tức bốn năm sau khi bắt đầu nỗ lực của mình, hệ thống logic quy nạp phức tạp của bản chứng minh dường như đang đi đúng hướng, mặc dù cả Vương Hồng lẫn Zahl đều chưa dám khẳng định điều này. “Đây là một bài toán khó, và tôi là ai mà đòi giải được nó cơ chứ?” Vương Hồng chia sẻ. “Bạn sẽ luôn có những hoài nghi. Nhưng đồng thời, lập luận đó cũng mang lại một cảm giác rất tự nhiên.” Cô có thể hình dung rõ ràng tiến trình logic ấy trong tâm trí: các hình trụ ở một tỷ lệ nhất định biến thành các tấm ván ở các tỷ lệ lớn hơn, rồi tiếp tục mở rộng thành các khối dày lấp đầy toàn bộ thể tích. Cách các hình khối chuyển hóa lẫn nhau đã cho cô thấy rằng các tập hợp Kakeya chắc chắn phải là không gian ba chiều. Dù vậy, phải mất thêm một năm nữa Vương Hồng và Zahl mới chính thức công bố bản chứng minh của mình ra công chúng.

 

Tìm kiếm sự cân bằng

“Tôi luôn ước mình có thể quay trở lại quãng thời gian trước đây, khi mà tôi cảm thấy mình có vô tận thời gian để đọc. Tôi nghĩ khoảng thời gian đó thực sự rất tuyệt.”

—Vương Hồng

Khi bản chứng minh được xem xét, nghiên cứu và xác nhận, nó đã làm thay đổi cục diện trong mảng toán học mà Vương Hồng theo đuổi. Shmerkin nói: “Cảm giác trong cộng đồng toán học lúc này có chút kỳ lạ, bởi vì theo một nghĩa nào đó, ‘Chén Thánh’ đã được tìm ra.” Ông giải thích: “Bài toán Kakeya vẫn chưa được giải ở mọi số chiều, nhưng một phần rất lớn của ‘Chén Thánh’ đã được chinh phục. Vì vậy tất cả chúng tôi đều tự hỏi: tiếp theo chúng ta sẽ làm gì? Và dĩ nhiên, toàn bộ những kỹ thuật này đã mở đường để giải quyết rất nhiều bài toán thú vị khác.”

Ngay cả trước khi giành được Fields Medal, Vương Hồng đã được nhiều người nhận ra trên đường phố ở Trung Quốc. Giải thưởng này đồng nghĩa với việc danh tiếng của cô – cũng như những chuyến công tác và những sự nghỉ ngơi đi kèm – sẽ còn tăng lên. Ảnh: Julien Pebrel/M.Y.O.P.

Những phiên bản ba chiều của các bài toán khác, thậm chí còn khó hơn, vẫn chưa có lời giải, chẳng hạn như giả thuyết hạn chế ba chiều (3D restriction conjecture) và giả thuyết làm mịn cục bộ (local smoothing conjecture). Một mục tiêu hiển nhiên khác đối với Vương Hồng và cộng đồng nghiên cứu của cô là giả thuyết Kakeya trong không gian bốn chiều (4D Kakeya conjecture), hoặc xa hơn nữa là một chứng minh tổng quát cho mọi số chiều, dù cho đến nay vẫn chưa ai hình dung được diện mạo của nó sẽ ra sao.

Vương Hồng cho biết hiện tại cô không muốn dồn quá nhiều tâm trí vào việc giải quyết bất kỳ bài toán cụ thể nào. Tên tuổi của cô tại Trung Quốc đã nổi lên nhanh chóng đến mức giờ đây mỗi khi xuất hiện ở nơi công cộng, người ta đều nhận ra cô. Huy chương Fields sẽ khiến cô trở thành một nhân vật có vị thế nổi bật tại đây cũng như trong toàn bộ cộng đồng toán học quốc tế. Dù vậy, Vương Hồng vẫn luôn lo sợ bị tụt lại phía sau và vẫn tin rằng mình cần nỗ lực nhiều giờ hơn các đồng nghiệp thì mới có thể giỏi bằng họ. Khi nghe người khác phản bác lại điều này – vì trong mắt mọi người, cô là một tài năng xuất chúng – Vương Hồng đã tỏ ra vô cùng ngạc nhiên và vui mừng.

Trước mắt vẫn còn nhiều bài toán dạng Kakeya cần chinh phục, và Vương Hồng hào hứng với những điều đang đón chờ phía trước. Thế nhưng, vẫn còn một bài toán khó khác, được để dành cho tương lai: làm sao để vừa vững tin vào bản thân với tư cách một nhà toán học, vừa giữ lại cho mình những khoảng trời không xoay quanh toán học. Vương Hồng cảm thấy được truyền cảm hứng khi người hướng dẫn của mình, Larry Guth, vẫn sắp xếp được thời gian để đọc sách giải trí. Cô chia sẻ: “Tôi luôn ước mình có thể quay trở lại quãng thời gian trước đây, khi mà tôi cảm thấy mình có vô tận thời gian để đọc. Tôi nghĩ khoảng thời gian đó thực sự rất tuyệt.”

–Hết–

Bạn đọc có thể tham khảo bản gốc tiếng Anh ở đây: https://www.quantamagazine.org/hong-wang-wins-2026-fields-medal-the-third-woman-ever-20260723/

Những bài viết gần đây: