Kỷ niệm 100 năm định lý Emmy Noether

by , under Uncategorized

 

MỘT NỮ THIÊN TÀI TOÁN HỌC TỪNG BỊ BỎ QUÊN:

EMMY NOETHER

Nguyễn Xuân Xanh

 

Trong đánh giá của phần lớn các nhà toán học có thẩm quyền đương thời, Fräulein Noether là thiên tài toán học sáng tạo quan trọng nhất được tạo ra từ lúc giáo dục đại học phụ nữ bắt đầu. Trong lãnh vực đại số, lãnh vực trong đó những nhà toán học tài năng nhất bận rộn hàng thế kỷ, cô đã phát minh những phương pháp tỏ ra vô cùng quan trọng trong sự phát triển thế hệ trẻ hơn hôm nay của các nhà toán học…

Albert Einstein

Trong điếu văn 1935

Ngày 26, tháng 7, 2018 vừa qua, tức hai tháng trước, thế giới vật lý và toán học kỷ niệm một trăm năm định lý căn bản (thật ra hai) của một người phụ nữ hãy còn được ít biết đến: Định lý tương đương, hay là sự thống nhất giữa hai cột trụ quan trọng trong toán học và vật lý: giữa các phép đối xứng (symmetry) hay bất biến (invariance) trong toán học và các định luật bảo toàn (conservation) phổ quát trong vật lý, mà tác giả là nhà nữ toán học Đức gốc Do Thái Emmy Noether của đầu thế kỷ 20. Định lý này phát biểu rằng, đối xứng toán học và bảo toàn các đại lượng trong vật lý là tương đương nhau. Một định lý tuyệt đẹp, và một mối liên hệ vô cùng bất ngờ được đưa ra ánh sáng.(1) Mối quan hệ mật thiết giữa đối xứng và bảo toàn này là “một điều đẹp đẽ và thâm sâu nhất”, theo lời của Richard Feynman, mà “phần lớn các nhà vật lý vẫn còn thấy choáng ngợp”.

Emmy Noether (1882-1935) khoảng 1915

Công trình nổi tiếng của bà được công bố ngày 26, tháng 7, năm 1918 với cái tên “Các bài toán biến phân bất biến” (Invariante Variationsprobleme), một trong hai định lý bà đưa ra trong đó có tính đột phá cho vật lý. Định lý này (thứ nhất) nói rằng, cứ đối với mỗi sự đối xứng liên tục của một hệ thống vật lý thì có một đại lượng vật lý được bảo toàn, và ngược lại. Đối xứng ở đây cần phải có tính liên tục, nghĩa là đối với một thông số liên tục, như đối với thời gian hay với phép quay trên mặt phẳng, hoặc phép tịnh tiến trong không gian. Nó không áp dụng cho các đối xứng rời rạc như đối xứng gương. Theo định lý Noether, bảo toàn năng lượng là hệ quả của sự đối xứng đối với tịnh tiến thời gian. Tương tự, bảo toàn động lượng (momentum) là hệ quả của sự đối xứng tịnh tiến không gian. Và bảo toàn mômen quay (angular momentum) từ đối xứng quay. Một người nghệ sĩ trượt băng có thể gia tăng tốc độ quay quanh trục của mình bằng cách kéo hai tay vào gần cơ thể hơn để giảm quán tính quay. Bảo toàn điện tích xuất phát từ một dạng đối xứng trừu tượng hơn, gọi là “bất biến chuẩn” (gauge invariance). Tương tự cho các bảo toàn các loại “tích” bí truyền khác, như “sắc tích” của quark (quark color), hay isopin yếu, liên quan đến những đối xứng đối với các phép biến đổi được gọi là “internal degrees of freedom”. Định lý thứ hai của Emmy Noether liên quan đến thuyết tương đối rộng và bảo toàn năng lượng của Einstein. Xem trình bày của Dwight E. Neuenschwander đầy đủ hơn về định lý thứ hai.

Có lẽ GS Đàm Thanh Sơn là người Việt Nam đầu tiên có bài viết kỷ niệm Emmy Noether đúng ngày 26/7/2018 trên blog của anh:

“Ở đâu có đối xứng, ở đó có bảo toàn”

Ở đâu có đối xứng, ở đó có bảo toàn

Khoảng gần một tháng sau, ngày 21/8 có bài của TS Lê Quang Ánh chi tiết hơn:

Emmy Noether – nhà Toán học nữ vĩ đại nhất của lịch sử

−⁕⁕⁕−

Cuộc đời của Emmy Noether là rất gian truân. Bà không phải là thần đồng, mà phát triển tài năng toán học ở tuổi lên 30. Bà đã gặp khó khăn tại Đại học Göttingen khi được David Hilbert và Felix Klein mời về để tiếp sức làm sáng tỏ về bảo toàn năng lượng trong thuyết tương đối rộng Einstein. Năm 1915, bà gặp sự phản đối của hàng ngũ giáo sư, từ chối habilitation (quyền giảng dạy trên đại học, venia legendi, dựa trên năng lực nghiên cứu) của bà để trở thành privatdozent, ‘giáo sư tư’ không lương nhà nước, một bước để chuẩn bị làm giáo sư thực thụ. Trong những người từ chối này có cả nhà triết học Edmund Husserl. Hilbert giận quá nói: “Aber meine Herren, eine Universität ist doch keine Badeanstalt! ” − “Nhưng thưa quý ngài, một đại học đâu phải là nhà tắm công cộng!” Xã hội bấy giờ là xã hội của đàn ông. Bà muốn nghe bài giảng đại học phải xin phép đặc biệt vị giáo sư chủ trì. Bà Lise Meitner cũng thế, phải xin phép Max Planck mới được vào giảng đường.

Lúc đọc bài báo nổi tiếng “Invariante Variationsprobleme” của Emmy Noether, Einstein viết cho nhà toán học Felix Klein ở Göttingen ngày 27, tháng 12, 1918: “Khi nhận được công trình nghiên cứu mới của cô Noether, tôi cảm nhận một sự bất công lớn, rằng người ta đã từ chối venia legendi của cô. Tôi rất tán thành, rằng chúng ta tiến hành một bước mạnh mẽ ở Bộ”. Trước đó, những can thiệp của Klein và Hilbert không đem lại thành công. Nhưng năm sau, Klein tiếp tục lần nữa, với sự gợi ý của Einstein, và đã thành công cho bà. Có lẽ một phần là vì Đức đã thua trận nên bộ máy hành chánh ‘cởi mở’ hơn. Lần này, bài luận văn habilitation chính là công trình đột phá “Invariante Variationsprobleme” của bà.

Đương thời, bà không phải là ‘vô danh’ lắm. Hội toán học thế giới năm 1932 họp tại Zurich đã mời bà đọc bài giảng toàn thể. Đó là một vinh dự rất lớn. Cùng năm, bà được trao tặng giải thưởng Ackermann-Teubner danh giá trong toán học.

Tầm quan trọng của công trình đột phá của bà không được nhận thức nhiều thập kỷ liền. Các nhà khoa học chỉ nhắc qua loa, lip service, như nhà vật lý Mỹ Eugene Wigner nhận xét. Wolfgang Pauli trong công trình Thuyết tương đối viết cho Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften năm 1921 không nhắc đến dù chỉ một sự lưu ý. Hermann Weyl trong quyển sách “Không gian, thời gian, vật chất” năm 1918 cũng thế. Thực tế đề tài đối xứng trong vật lý cũng chỉ được ưa thích vào những năm 1950 khi vật lý hạt phát triển mạnh. Bản dịch tiếng Anh định lý Noether cũng chỉ ra đời năm 1971, của Morton A. Tavel, và lại được phổ biến trên một tạp chí không mấy được biết rộng rãi. Nhưng sự phát triển của vật lý lý thuyết đòi hỏi tìm kiếm các định lý bảo toàn từ góc độ bất biến khiến cho người ta không thể tiếp tục lãng quên công trình của Emmy Noether. Giờ thì tầm quan trọng của định lý bà đã được hiểu đầy đủ. “Định lý này là vì sao dẫn đường cho vật lý thế kỷ 20 và 21”, nhà vật lý hạt giải Nobel Frank Wilczek nói.

Image result for albert einstein around 1920

Albert Einstein trong những năm 1920

Hilbert.jpg 

David Hilbert (trái) và Felix Klein năm 1912

−⁕⁕⁕−

Emmy Noether mất sớm vào ngày 14 tháng 4, năm 1935, tại trường đại học Bryn Mawr, một college ưu tú dành cho phụ nữ của bang Pennsyvania, hưởng thọ chỉ 53 tuổi, trong cuộc song tha hương ở Mỹ để trốn khỏi chế độ nazis, rời bỏ đất nước bà yêu thương nhưng đã trở thành “man rợ”. Cái chết đột ngột của bà do biến chứng sau một cuộc giải phẫu đang trên đường hồi phục là một tổn thất vô cùng to lớn cho cộng đồng toán học. Bà làm việc tại Bryn Mawr đúng 18 tháng. Viện nghiên cứu cao cấp Princeton được thành lập năm 1935, đồng ý dành cho bà học bổng để đến nghiên cứu. Một sự gặp gỡ lại Einstein, người đã giúp bà có chân tại Bryn Mawr, sẽ là thú vị biết bao. Nhưng mọi sự đều dang dở. Tro của bà được mai táng tại Thư viện Martha Carey Thomas của trường, như một chỗ vinh dự cho bà.

Báo The New York Times có biết một bài điếu văn cho bà, nhưng Einstein đọc thấy ‘tầm thường’ quá, ngắn ngủi quá. Bất bình, ông viết một bài điếu văn khác gửi cho chủ bút tờ báo, ngày 1 tháng 5, 1935, trong đó, ngoài đoạn được trích dẫn ở trên, có những dòng sau đây nói về tầm quan trọng của bà:

Toán học thuần túy là một dạng thi ca trong các khái niệm logic. Người ta đi tìm những khái niệm và phép toán tổng quát nhất như có thể để bắt cầu kết nối một vùng rộng lớn nhất như có thể, một cách đơn giản và thống nhất với nhau về mặt lôgic. Với nỗ lực vươn tới vẻ đẹp lôgic, những công cụ tinh thần được nghĩ ra, những thứ mà chúng ta cần đến để thâm nhập sâu hơn vào tính quy luật của tự nhiên.

Albert Einstein

Câu cuối cùng ám chỉ khám phá các định lý tương đương sâu sắc của bà. Mở đầu bài điếu văn Einstein như thể muốn nói về triết lý sống thuần khiết dành cho khoa học và ý nghĩa đóng góp lớn lao của bà:

Những nỗ lực của phần lớn con người được tiêu pha vào sự chiến đấu cho miếng ăn hàng ngày, nhưng phần lớn những ai, hoặc bằng sự may mắn, hay một đặc ân trời cho, được làm nhẹ bớt trong cuộc chiến đấu, bị thu hút vào sự cải thiện tiếp tục số phận họ trên thế gian. Dưới những nỗ lực hướng về sự tích lũy các tài sản thế gian thường là ảo tưởng cho rằng đó là cứu cánh quan trọng và đáng mong mỏi nhất; nhưng may mắn thay, có một thiểu số gồm những người sớm nhận thức trong đời họ rằng những trải nghiệm đẹp đẽ và làm hài lòng nhất mở ra cho nhân loại không phải xuất phát từ bên ngoài, mà gắn liền với sự phát triển của cảm xúc riêng cá nhân, suy nghĩ và hành động. Những nhà nghệ sĩ, nhà nghiên cứu, hay nhà tư tưởng đích thực luôn luôn là những người loại này. Cuộc đời của những cá nhân này, dù diễn ra âm thầm thế nào, những thành quả của nỗ lực họ là những đóng góp quý báu nhất mà một thế hệ có thể xem như di sản của những người nối nghiệp của nó.

Ngoài điếu văn của Einstein, còn bài điếu văn thứ hai được xem là xuất sắc dành cho bà, của nhà toán học Hermann Weyl, người có quan hệ lâu nhất với bà, vừa là người bạn, vừa là đồng nghiệp. Ông đọc điếu văn ông ngày 26, tháng 4, 1935 tại buổi lễ tưởng niệm bà ở Đại học Bryn Mawr. Ông viết:

Bà là một mẫu mực tuyệt vời về sức sống, bà đứng trên quả đất vững chắc và lành mạnh với óc hài hước mạnh mẽ và lòng quả cảm cho cuộc sống mà không ai lường trước được. Bà đang ở đỉnh cao của sức sáng tạo toán học của bà; óc tưởng tượng ảnh hưởng sâu rộng và các năng lực kỹ thuật, được tích lũy bởi kinh nghiệm liên tục, đã làm nên một sự cân bằng hoàn hảo; bà rất hăm hở lao vào những bài toán mới. Và bây giờ − thình lình – sự chấm dứt, tiếng nói của bà im bặt, tác phẩm của bà đột nhiên ngừng lại. […]

Sức mạnh [của bà] nằm ở năng lực thao tác một cách trừu tượng với các con-xếp (concept). […] Bà có một óc tưởng tượng sống động nhất để có thể hình dung ra những mối liên hệ xa nhất; bà luôn luôn phấn đấu hướng về thống nhất hóa (unification). […]

Khi, trong giờ phút này, tôi nghĩ cái gì đã làm nên bà, thì hai điều đã đến ngay tâm trí tôi. Điều thứ nhất là năng lượng sáng tạo độc đáo của tư duy toán học của bà. Giống như một quả trái cây đã quá chín, nó dường như bật tung ra khỏi vỏ con người của bà. Bà tức khắc là công cụ của và chỗ chứa cho sức sáng tạo tri thức dâng lên từ bên trong bà. Bà không phải là cục đất sét được nắn nót hài hòa bởi bàn tay nghệ sĩ của Chúa, mà bà là một tảng đá nguyên sơ con người mà Chúa đã thổi vào đó thiên tài sáng tạo.(2)

Thứ hai, trái tim bà không biết ác tâm; bà không tin vào cái ác – thực tế, nó không bao giờ len lỏi vào tâm trí bà để có vai trò ở con người. Điều này chưa bao giờ rõ ràng đối với tôi hơn là mùa hè cuối cùng chúng tôi đã cùng nhau trải qua ở Göttingen, mùa hè giông bão của năm 1933. Giữa sự chiến đấu khủng khiếp, sự hủy diệt và các chấn động diễn ra xung quanh chúng tôi, giữa một biển hận thù và bạo lực, của nỗi sợ hãi, buồn nản và tuyệt vọng – bà tiếp tục đi con đường riêng của bà, suy nghĩ về những thách thức của toán học với cùng sự chăm chỉ trước đó. Khi bà không được phép sử dụng các giảng đường của viện, bà đã tập hợp sinh viên trong nhà bà. Ngay cả những người mặc quần sọt nâu (của đảng Hitler) cũng được chào đón; không một phút giây bà nghi ngờ sự chính trực của họ. Không để ý đến định mệnh riêng của bà, với trái tim rộng mở, luôn luôn hòa hợp, bà đi tiếp con đường của bà. Nhiều người trong chúng ta đã tin rằng thù hận một khi đã gây ra không thể có lời xin lỗi; nhưng tất cả những thứ đó đều không chạm đến bà […]

Bà là một nhà toán học vĩ đại, vĩ đại nhất tôi tin chắc như thế, mà giới tính của bà từng sản xuất ra, một phụ nữ vĩ đại.(3)

Nhà toán học Norbert Wiener của MIT viết:

Cô Noether là một nhân cách lớn; nhà toán học học nữ vĩ đại nhất từng sống trên quả đất; nhà khoa học nữ vĩ đại nhất đương thời, và là một học giả ít nhất cùng đẳng cấp với Bà Marie Curie. Bỏ ra ngoài giới tính, cô là một trong mười hay mười hai nhà toán học hàng đầu của thế hệ thiện tại trên cả thế giới, và đã xây dựng được một nhóm nhà toán học gắn bó với nhau ở Đức: Trường học hiện đại của các nhà đại số học.

Nhà đại số học Bartel van der Waerden của Hà Lan, học trò bà, bà có rất nhiều học trò, viết trong một điếu văn khác: “Bà chỉ có thể tư duy trong khái niệm, không trong công thức, và đó chính là sức mạnh của bà. Bằng cách này, bà tất yếu, bằng bản tính của bà, đi đến khám phá những con-xếp thích hợp để làm nền tảng cho các lý thuyết toán học.”(4) Định lý Emmy Noether nói trên là một thí dụ của năng lực tư duy trừu tượng và tổng quát hóa này của bà.

Trong quyển sách về Hạt Higgs, con đường phát minh và khám phá “Hạt của Chúa” năm 2014, tác giả Jim Baggott đã dành cả chương đầu để nói về tầm quan trọng của định lý tương đương của bà cho sự phát triển của ngành vật lý hạt nửa sau thế kỷ 20:

 

Hai trường trung học Emmy Noether Gymnasium mang tên bà ở Berlin và Erlangen, nơi bà đã sinh ra, để vinh danh bà. Năm 1980 Hội phụ nữ toán học (Association for Women in Mathematics) cho ra đời Emmy Noether Lecture hàng năm để “vinh danh những phụ nữ có những đóng góp căn bản và có ảnh hưởng lâu dài cho các ngành khoa học toán”. Quỹ học bổng nghiên cứu Đức DFG có mở một “Chương trình Emmy Noether” nhằm tạo cơ hội cho các nhà khoa học trẻ tài năng đặc biệt lãnh đạo một nhóm nghiên cứu trẻ đang lên trong một thời hạn 6 năm: http://www.dfg.de/foerderung/programme/einzelfoerderung/emmy_noether/.

Bà là biểu tượng của phụ nữ trong khoa học, một mẫu mực của chính trực không cho phép biến bất công thành cay đắng, và một người đồng hành trí thức truyền cảm hứng cho tất cả ai đánh giá cao cuộc sống tinh thần, như tác giả Neuenschwander viết trong quyển sách của ông. Nhà nữ vật lý lý thuyết Lisa Randall của Đại học Harvard khi biết rằng tác giả của Định lý ảnh hưởng kia là một phụ nữ đã thốt lên rằng “đó là một sự kiện đập mạnh vào tâm trí tôi, kích thích và truyền cảm hứng.” Việt Nam đã có trường Marie Curie. Nay nên có thêm trường Emmy Noether.

Ngày 23 tháng 3, 2015, kỷ niệm sinh nhật thứ 133 của bà, Google đã làm một Doodle về bà:

“New Google Doodle Honors Revolutionary Mathematician Emmy Noether”

https://timedotcom.files.wordpress.com/2015/03/screen-shot-2015-03-23-at-11-07-37-am.png

(https://www.google.com/doodles/emmy-noethers-133rd-birthday?doodle=18510956&domain_name=google.com&hl=en)

Năm 1993, một hành tinh nhỏ được khám phá năm 1955 được đặt tên bà. Bà như vì sao tiếp tục chiếu sáng./.

TB. Tạp chí Pi của Hội Tooán học Việt Nam số tháng 10 năm 2018 vừa đăng tải lại bài trên:

 

——————————

Các chú thích (1)-(4):

(1)Xem định lý này bản gốc ở đây: https://de.wikisource.org/wiki/Invariante_Variationsprobleme

(2)Trong Điếu văn của Weyl

(3)M.B.W. Tent, tr. 126 trở đi

(4)Như trên

 

Tham khảo:

  1. ScienceNews June 12, 2018: In her short life, mathematician Emmy Noether changed the face of physics:

    https://www.sciencenews.org/article/emmy-noether-theorem-legacy-physics-math

  2. Cordula Tollmien, Hundert Jahre Noether-Theoreme. „Invariantentheorie ist jetzt hier Trumpf“: https://doi.org/10.1002/piuz.201801513
  3. Điếu văn của Hermann Weyl:

    http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Weyl_Noether.html

  4. M.B.W. Tent, Emmy Noether. The Mother of Modern Algebra. A. K. Peters, Ltd., 2008.
  5. Dwight E. Neuenschwander, Emmy Noether’s Wonderful Theorem. Johns Hopkins University Press; revised and updated edition edition (March 6, 2017)

Tháng 9, 2018